Question

[Mafia]

CHo đường tròn \(\left(O\right)\)và 1 điểm \(M\)nằm ngoài đường tròn. Từ \(M\)kẻ 2 tiếp tuyến \(MA,MB\)với đường tròn \(\left(O\right)\)( \(A,B\)là các tiếp điểm). Gọi \(I\)là giao điểm của \(OM\)và \(AB\).

a) CM 4 điểm \(M,A,O,B\)cùng \(\in1\)đường tròn

b) CM \(OM\perp AB\)tại \(I\)

c) Từ \(B\)kẻ đường kính \(BC\)của đường tròn \(\left(O\right)\), đường thẳng \(MC\)cắt đường tròn \(\left(O\right)\)tại \(D\)\(\left(D\ne C\right)\).

CM  \(\Delta BDC\)vuông từ đó \(\Rightarrow MD.MC=MI.MO\)

D) QUA \(O\)vẽ đường thẳng vuông góc với \(MC\)tại \(E\)và cắt đường thẳng \(AB\)tại \(F\).

CM \(FC\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\)

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Ta thấy OAM và OBM là các tam giác vuông có chung cạnh huyền OM nên A, O, B, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì MA = MB và MI là tia phân giác góc AMB.

Vậy thì tam giác MAB cân tại M, có phân giác MI đồng thời là đường cao.

Vậy nên \(OM\perp AB\) tại I.

c) Do D thuộc đường tròn (O) nên OC = OB = OD.

Suy ra tam giác BDC vuông tại D.

Xét tam giác vuông CBM, đường cao BD, ta có: \(MD.MC=BM^2\)  (Hệ thức lượng)

Xét tam giác vuông OBM, đường cao BI, ta có: \(MI.MO=BM^2\)  (Hệ thức lượng)

Vậy nên MD.MC = MI.MO

d) Ta thấy CEF và CAF là các tam giác vuông có chung cạnh huyền CF nên FAEC nội tiếp đường tròn đường kính CF.

\(\Rightarrow\widehat{FCE}=\widehat{EAB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CO)

Lại có O,E, A, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM nên \(\widehat{EAB}=\widehat{EMB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

\(\Rightarrow\widehat{FCE}=\widehat{EMB}\)

Ta có \(\widehat{EMB}+\widehat{ECB}=90^o\Rightarrow\widehat{FCE}+\widehat{ECB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FCB}=90^o\)

Vậy FC là tiếp tuyến của đường tròn (O).