Question

[Nguyễn Anh Quân]

1, Cho K cố định thuộc (O;R) . Hai dây AC , BD vuông góc với nhau tại K .Tìm Max ABCD

2, Cho tam giác ABC có các phân giác AM,BN,CP. Tìm Max S MNP / S ABC

Giup mk với mk tick cho nha

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

1) Ta chứng minh tổng AB² + CD² không đổi. Thật vậy:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và CD.

Ta có \(OI\perp AB;OJ\perp AC\) 

Khi đó: \(AB^2+CD^2=\left(2AI\right)^2+\left(2CJ\right)^2=4\left(AI^2+CJ^2\right)\)

\(=4\left(OA^2-OI^2+OC^2-OJ^2\right)=4\left[2R^2-\left(OI^2+OJ^2\right)\right]\)

\(=4\left[2R^2-\left(OI^2+IK^2\right)\right]=4\left(2R^2-OK^2\right)\)

Do K cố định nên OK không đổi. Vậy \(4\left(2R^2-OK^2\right)\) không đổi hay AB² + CD² không đổi.

Khi đó ta có : 

\(S_{ACBD}=\frac{1}{2}.AB.CD\le\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\left(AB^2+CD^2\right)\)

\(S_{ACBD}\le\frac{1}{4}.4\left(2R^2-OK^2\right)=2R^2-OK^2\)

Vậy \(maxS_{ACBD}=2R^2-OK^2\) khi AB = CD.