K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

1.Trên bảng cho 3 số \(\sqrt{2},2,\frac{1}{\sqrt{2}}\). Mỗi lần xóa đi 2 số a và b trong 3 số trên thì ta thêm vào 2 số mới là \(\frac{a+b}{\sqrt{2}}\)và \(\frac{\left|a-b\right|}{\sqrt{2}}\)CMR dù ta có xóa đi bao nhiêu lần nữa thì vẫn ko tồn tại một lúc 3 số \(\frac{1}{2\sqrt{2}},1+\sqrt{2},\sqrt{2}\)2. Trên bảng cho 4 số . Mỗi lần thay 2 số a và b thành hai số \(a^2+b^2+\sqrt{a^2+b^2}\)và \(a^2+b^2-\sqrt{a^2+b^2}\)Gỉa sử ban...
Đọc tiếp

1.Trên bảng cho 3 số \(\sqrt{2},2,\frac{1}{\sqrt{2}}\). Mỗi lần xóa đi 2 số a và b trong 3 số trên thì ta thêm vào 2 số mới là \(\frac{a+b}{\sqrt{2}}\)và \(\frac{\left|a-b\right|}{\sqrt{2}}\)

CMR dù ta có xóa đi bao nhiêu lần nữa thì vẫn ko tồn tại một lúc 3 số \(\frac{1}{2\sqrt{2}},1+\sqrt{2},\sqrt{2}\)

2. Trên bảng cho 4 số . Mỗi lần thay 2 số a và b thành hai số \(a^2+b^2+\sqrt{a^2+b^2}\)và \(a^2+b^2-\sqrt{a^2+b^2}\)

Gỉa sử ban đầu có 4 số 2,3,4,5 thì sau một số lần thực hiện như vậy có thể có được 4 số đều nhỏ hơn 1 không. vì sao?

3. Trên một hòn đảo có một loài tắc kè sinh sống, chúng có 3 màu xanh, đỏ ,tím. Tất cả có 2011 con màu xanh, 2012 con màu đỏ và 2013 con màu tím. Để lẩn trốn và săn mói thì chúng đổi màu như sau

-Nếu 2 con khác màu gặp nhau thì chúng cùng biến đỗi sang màu thứ ba

- Nếu 2 con cùng màu gặp nhau thì chúng giữ nguyên màu

Có khi nào tất cả con tắc kè cùng màu được không. Vì sao?

0
2 tháng 6 2018

ĐÂY là toán bất biến bạn lên mạng tra chứ ....

12 tháng 6 2017

hử, giả sử ta bớt đi 2 số \(2,\sqrt{2}\),thì ta sẽ viết lên 2 số mới là \(\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1\)(*)và \(\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\)

(*) xuất hiện rồi nhá, lượt đầu tiên luôn 

20 tháng 8 2016

3, \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sqrt{\frac{a^2}{a\left(b+c\right)}}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{\frac{a}{b+c}}}=\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{a^2}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : \(\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{a^2}}\le\frac{a+b+c}{2a}\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\left(1\right).\)

Chứng minh tương tự ta có : \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\left(2\right).\);  \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\left(3\right).\)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được: 

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2.\)( đpcm )

dấu " = " xẩy ra khi a = b = c > 0

18 tháng 2 2018

Đáp án của bạn ở đây:  https://dethihsg.com/de-thi-hoc-sinh-gioi-toan-9-phong-gddt-cam-thuy-2011-2012/amp/

22 tháng 8 2020

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}{\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}}}\le2.\sqrt{2}.\sqrt[3]{9}\)

Ta quy bài toán về chứng minh hai bất đẳng thức sau 

\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\le3\sqrt{2}\)và \(\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{\sqrt[3]{3}}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\le\sqrt{6\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)\(\le\sqrt{6\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}}\le3\sqrt{2}\)

Mặt khác ta lại có \(\left[\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x+y+z\right)\right]^2\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^4\)\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Do đó ta được \(\left(x^3+y^3+z^3\right)^2\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^3}{3}\)

Áp dụng kết quả trên ta thu được \(\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}\right]^2\ge\frac{1}{3}\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\right]^3\)

Mà theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có\(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\ge\frac{1}{2\left(a^2+b^2\right)}+\frac{1}{2\left(b^2+c^2\right)}+\frac{1}{2\left(c^2+a^2\right)}\) \(\ge\frac{9}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\frac{9}{4\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}}\ge\frac{9}{4\sqrt{9}}=\frac{3}{4}\)

Do đó ta có \(\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}\right]^2\ge\frac{1}{3}\left[\frac{3}{4}\right]^3=\frac{9}{64}\)

Suy ra \(\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{\sqrt[3]{3}}{2}\)

Từ các kết quả trên ta được \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}{\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}}}\le\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt[3]{3}}{2}}=2.\sqrt{2}.\sqrt[3]{9}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1