Question

[Hòa Vũ]

Cho x, y, z >0 và x²+y²+z²=xyz                                                                                                                                                                                    Tìm MAX của A=\(\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+xz}+\frac{z}{z^2+xy}\)

Answer 1

[Võ Thị Quỳnh Giang]

theo bài ra ta có: \(x^2+y^2+z^2=xyz\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=1.\)(vì x.y.z>o)

                                                            \(\Rightarrow\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=1\)

mặt khác ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) (với a>0;b>0)

            \(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)   (*)

Áp dụng bài toán (*) ta có: \(\frac{1}{x^2+yz}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{yz}\right)\) \(\Rightarrow\frac{x}{x^2+yz}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x^2}+\frac{x}{yz}\right)\)

tương tự ta đc: \(\frac{y}{y^2+xz}\le\frac{1}{4}\left(\frac{y}{y^2}+\frac{y}{xz}\right)\) ; \(\frac{z}{z^2+xy}\le\frac{1}{4}\left(\frac{z}{z^2}+\frac{z}{xy}\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1\right)\)  (vì \(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=1\))

mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+yz+xz}{xyz}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=1\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(1+1\right)=\frac{1}{2}\)

Vậy GTLN của A là 1/2 khi x=y=z