Cho $x, \, y$ là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng $x^2+y^2+xy-3x-3y+3 \ge 0$.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LV
19 tháng 6 2017
có: \(x\left(2x-3\right)^2\ge0\Leftrightarrow4x^3-12x^2+9x\ge0\Leftrightarrow4x^3-12x^2+12x-4\ge3x-4\)
\(\Leftrightarrow4\left(x-1\right)^3\ge3x-4\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)^3\le1-\frac{3}{4}x\).
tương tự và cộng lại ta có ngay đpcm.
Dấu = xảy ra khi 2 số bằng 1,5; 1 số bằng 0
7 tháng 6 2021
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 3 2022
1.
\(\left(x+y\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}.2x+\dfrac{1}{3}.3y\right)^2\le\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}\right)\left(4x^2+9y^2\right)=\dfrac{169}{36}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{13}{6}\le x+y\le\dfrac{13}{6}\)
Dấu "=" lần lượt xảy ra tại \(\left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{2}{3}\right)\) và \(\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{2}{3}\right)\)
2.
\(\left(y-2x\right)^2=\left(\dfrac{1}{4}.4y+\left(-\dfrac{1}{3}\right).6x\right)^2\le\left(\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{9}\right)\left(16y^2+36x^2\right)=\dfrac{25}{16}\)
\(\Rightarrow\left|y-2x\right|\le\dfrac{5}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\mp\dfrac{2}{5};\pm\dfrac{9}{20}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 3 2022
3.
\(B^2=\left(6.\sqrt{x-1}+8\sqrt{3-x}\right)^2\le\left(6^2+8^2\right)\left(x-1+3-x\right)=200\)
\(\Rightarrow B\le2\sqrt{10}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{\sqrt{x-1}}{6}=\dfrac{\sqrt{3-x}}{8}\Leftrightarrow x=\dfrac{43}{25}\)
\(B=6\sqrt{x-1}+6\sqrt{3-x}+2\sqrt{3-x}\ge6\sqrt{x-1}+6\sqrt{3-x}\)
\(B\ge6\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\right)\ge6\sqrt{x-1+3-x}=6\sqrt{2}\)
\(B_{min}=6\sqrt{2}\) khi \(\sqrt{3-x}=0\Rightarrow x=3\)
4.
\(49=\left(3a+4b\right)^2=\left(\sqrt{3}.\sqrt{3}a+2.2b\right)^2\le\left(3+4\right)\left(3a^2+4b^2\right)\)
\(\Rightarrow3a^2+4b^2\ge\dfrac{49}{7}=7\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
CM
9 tháng 3 2017
Vì a ≥ 0 nên √a xác định, b ≥ 0 nên b xác định
Ta có: a - b 2 ≥ 0 ⇔ a - 2 a b + b ≥ 0
⇒ a + b ≥ 2 a b ⇔ a + b 2 ≥ a b
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.
23 tháng 9 2021
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge0\)
Dấu ''='' xảy ra khi a = b
8 tháng 5 2021
Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Có : \(a,b\ge0\)
\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ( đpcm )
Vậy ...
CM
19 tháng 11 2018
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Nếu a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 thì :
Xét \(f\left(x\right)=VT=x^2+y^2+xy-3x-3y+3\)
\(=x^2+\left(y-3\right)x+y^2-3y+3\)
Có \(\Delta=\left(y-3\right)^2-4\left(y^2-3y+3\right)\)
\(=y^2-6y+9-4y^2+12y-12\)
\(=-3y^2+6y-3\)
\(=-3\left(y-1\right)^2\le0\) với mọi \(y\inℝ\)
Mà \(f\left(x\right)\) có hệ số cao nhất bằng \(1>0\) nên từ đây có \(VT=f\left(x\right)\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(y=1\). Khi đó \(\Delta=0\) nên pt \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\) \(x=\dfrac{-\left(y-3\right)}{2}=1\).
Ta có đpcm.