Question

[Lizy]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P):y=`x^2` và `(d):y=2mx+2m+8`

a) Khi `m=-4`, tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

b) CMR: (d) và (P) luôn cắt nhau ở 2 điểm phân biệt có hoành độ `x_1 ,x_2`. Tìm m để `x_1 +2x_2 =2`

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=2mx+2m+8\)

=>\(x^2-2mx-2m-8=0\)(1)

Thay m=-4 vào (1), ta được:

\(x^2-2\cdot\left(-4\right)\cdot x-2\cdot\left(-4\right)-8=0\)

=>\(x^2+8x=0\)

=>x(x+8)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-8\end{matrix}\right.\)

Thay x=0 vào (P), ta được:

\(y=0^2=0\)

Thay x=-8 vào (P), ta được:

\(y=x^2=\left(-8\right)^2=64\)

Vậy: (P) và (d) cắt nhau tại O(0;0) và A(-8;64)

b: \(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m-8\right)\)

\(=4m^2+8m+32\)

\(=4m^2+8m+4+28=\left(2m+2\right)^2+28>=28>0\forall m\)

=>Phương trình (1)luôn có hai nghiệm phân biệt

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=-2m-8\end{matrix}\right.\)

mà \(x_1+2x_2=2\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+2x_2=2\\x_1+x_2=2m\\x_1\cdot x_2=-2m-8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_2=2-2m\\x_1=2m-2+2m=4m-2\\x_1\cdot x_2=-2m-8\end{matrix}\right.\)

=>(2-2m)(4m-2)=-2m-8

=>\(8m-4-8m^2+4m=-2m-8\)

=>\(-8m^2+12m-4+2m+8=0\)

=>\(-8m^2+14m+4=0\)

=>\(-8m^2+16m-2m+4=0\)

=>-8m(m-2)-2(m-2)=0

=>(m-2)(-8m-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

a. Em tự giải

b,

Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P):

\(x^2=2mx+2m+8\Leftrightarrow x^2-2mx-2m-8=0\) (1)

\(\Delta'=m^2+2m+8=\left(m+1\right)^2+7>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có 2 nghiệm pb với mọi m hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb.

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-2m-8\end{matrix}\right.\)

Kết hợp hệ thức Viet và đề bài ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+2x_2=2\\x_1+x_2=2m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=-2m+2\\x_1=4m-2\\\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(x_1x_2=-2m-8\)

\(\Rightarrow\left(4m-2\right)\left(-2m+2\right)=-2m-8\)

\(\Leftrightarrow8m^2-14m-4=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)