CHO \(x+y=2\)
TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA \(S=x^2+y^2\)
GIẢI THEO BẤT DẲNG THỨC CAUCHUY
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 11 2021
\(1.a,\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2abcd+\left(bc\right)^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(b,\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)-\left(ad-bc\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow-\left(ad-bc\right)^2\le0\left(luôn-đúng\right)\)
\(dấu"='\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
\(c2:x+y=2\Rightarrow\left(x+y\right)^2=4\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge4\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2\ge4\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge4\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2\)
\(dấu"="\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=1\)
15 tháng 11 2021
Câu 1:
a)Ta có (ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac)2+2abcd+(bd)2+(ad)2-2abcd+(bc)2
=(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2
=a2(c2+d2)+b2(c2+d2)
=(a2+b2)(c2+d2) (đpcm)
b)Ta có (ac+bd)2 = (ac)2+2abcd+(bd)2
Lại có (a2+b2)(c2+d2) = (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2
Ta có (ac+bd)2 ≤ (a2+b2)(c2+d2)
<=>(a2+b2)(c2+d2) - (ac+bd)2 ≥ 0
<=>(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2-[(ac)2+2abcd+(bd)2]
<=>(ad)2 - 2abcd +(bc)2 ≥ 0
<=>(ad-bc)2 ≥ 0 (Luôn đúng) => đpcm
Câu 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki, ta có (x+ y)2 ≤ (x2 + y2)(12 + 12) => 4 ≤ 2.S => 2 ≤ S
Dấu ''='' xảy ra <=> x=y=1
Vậy Min S=2 <=> x=y=1
TN
13 tháng 10 2016
1)chứng minh cái j ???
2)\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=a^2c^2+b^2d^2+2abcd+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
b)Ta có:
\(\left(ab+cd\right)^2\le\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+c^2d^2+2abcd\le a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2abcd\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\)(Đpcm)
c)Áp dụng Bđt Bunhiacopxki ta có:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=2^2=4\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\)\(\Rightarrow S\ge2\)
Dấu = khi \(x=y=1\)
TD
1
MT
20 tháng 3 2016
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta được:
2S=(x2+y2)(1+1)\(\ge\)(x+y)2=4
=>S\(\ge\)2
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
Vậy GTNN của S là 2 tại x=y=1
TL
3
B1
18 tháng 8 2017
+ từ x^2+y^2+xy=1 => (x - 1/2*y)^2 + 3/4*y^2 = 1
đặt x - 1/2*y = sina và √3/2*y = cosa <> y = 2cosa / √3 và x = sina + cosa /√3
thay vào b ta có
b = (sina + cosa/√3)^2 - ( sina + cosa/√3). 2cosa/√3 + 8/3*(cosa)^2
= (sina)^2 + sin2a/√3 + (cosa)^2/3 - sin2a/√3 - 2/3*(cosa)^2 + 8/3*(cosa)^2
= (sina)^2 + 7(cosa)^2 / 3 = 1+ 4(cosa)^2 / 3 = 1 + 2(1 + cos2a) / 3 = 5/3 + 2cos2a/ 3
=> 1=< b <=7/3
+ min = 1 khi cos2a = -1 hay cosa = 0 <> y = 0 và x = +- 1
+ max = 7 / 3 khi cos2a = 1 hay sina = 0 <> x = 1 + 1/√3 và y = 2 / √3 hoạc x = 1 - 1 / √3
và y = -2 / √3
18 tháng 8 2017
copy lố rồi bn ơi
Áp dụng BĐT C-S ta có:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow S=x^2+y^2\ge\frac{4}{2}=2\)
Khi x=y=1
MT
1
13 tháng 9 2015
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: (x+ y)2 \(\le\) (x2 + y2) .(12 + 12) => 4 \(\le\) 2.S => 2 \(\le\) S
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1
Vậy GTNN của S là 2 tại x = y = 1
FZ
1
VL
31 tháng 5 2015
Áp dụng bất đẳng thức Bu nhi a cốp xki ta có:
\(\left(x^2+y^2\right)\left(1+1\right)\ge\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\left(x^2+y^2\right)\ge2^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2\ge\frac{4}{2}\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2\ge2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) x=y=1
Vậy \(\left(x^2+y^2\right)min=2\Leftrightarrow x=y=1\)
13 tháng 6 2023
(x+y)^2/x^2+y^2+(x+y)^2/xy>=(x+y)^2/x^2+y^2+xy
Dấu = xảy ra khi (x+y)^2/2xy=x/2y+y/2x+1
=>Min=2
\(S=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=4-2xy\)(1)
Mà theo Cau-chy: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{4}{2}=2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(4-2xy\ge4-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=4-2=2\)
Vậy minS = 2 đạt được khi \(x=y=1\)