Cho 3 số a, b, c chứng minh \(\left(ab+ac+bc\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VQ
10 tháng 6 2017
a, \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
\(c^2+a^2\ge ca\)
Cộng các vế => đpcm
b, Áp dung bdt a, ta có thể cm đc \(\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3zx\)
Thay x,y,z lần lượt bởi ab;bc;ca => ĐPCM
DT
2
9 tháng 6 2017
\(BDT\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3a^2bc+3ab^2c+3abc^2\)
Đặt \(x=ab;y=bc;z=ac\) thì có:
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
TN
10 tháng 6 2017
\(\left(ab+ac+bc\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)-3abc\left(a+b+c\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-a^2bc-ab^2c-abc^2\ge0\)Nhân cả 2 vế cho 2 ta được
\(\Rightarrow2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2a^2bc+a^2c^2\right)+\left(a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\right)+\left(a^2c^2-2abc^2+b^2c^2\right)\ge0\)\(\Rightarrow\left(ab-ac\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(ac-bc\right)^2\ge0\) Đúng với mọi a , b , c
XO
28 tháng 3 2022
Ta có (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc2) + (ca)2 + 2abc(a + b + c)
Lại có : x2 +y2 + z2 \(\ge\)xy + yz + xz
Thật vậy x2 +y2 + z2 \(\ge\)xy + yz + xz
<=> 2(x2 +y2 + z2) \(\ge\)2(xy + yz + xz)
<=> (x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2yz + z2) + (z2 - 2zx + x2) \(\ge0\)
<=> (x - y)2 + (z - x)2 + (y - z)2 \(\ge0\) (đúng) => ĐPCM
Áp dụng bài toán => (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 \(\ge\)ab.bc + ac.bc + ab.ac = abc(a + b + c)
Khi đó (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc2) + (ca)2 + 2abc(a + b + c) \(\ge\)abc(a + b + c) + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) (đpcm)
TB
1
S
25 tháng 9 2018
Ta có:\(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\) (*)
Lại có: \(\left(ab-bc\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\ge0\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c\)
Tương tự \(b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2;c^2a^2+a^2b^2\ge2a^2bc\)
Cộng từng vế của 3 BĐT ta được:\(2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (**)
Từ (*),(**) \(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge abc\left(a+b+c\right)+2abc\left(a+b+c\right)=3abc\left(a+b+c\right)\)
=>đpcm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 6 2020
Nguyễn Xuân Đình Lực:
mình ghi rõ trên rùi, sắp xếp theo thứ tự luôn cho dễ nhìn kìa bạn:
Cặp 1: $a^3b$ và $abc^2$ tạo ra $a^2bc$
Cặp 2: $b^3c$ và $bca^2$ tạo ra $b^2ca$
Cặp 3: $c^3a$ và $cab^2$ tạo ra $c^2ab$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 6 2020
Lời giải:
Ba số thực $a,b,c$ cần có thêm điều kiện không âm mới đúng.
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$ab^3+bc^3+ca^3+2abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3+abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a(*)$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^3b+b^3c+c^3a)(abc^2+bca^2+cab^2)\geq (a^2bc+b^2ca+c^2ab)^2$
$\Rightarrow a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$
BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
27 tháng 6 2020
a,b,c>0
\(VP-VT=a^3b+b^3c+c^3a-abc\left(a+b+c\right)=abc\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{a}\ge0\)
LD
23 tháng 7 2019
a. \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2=a^2+b^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=0\Leftrightarrow a=-b\) (đpcm)
b. \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
Vì \(\left(a-1\right)^2;\left(b-1\right)^2;\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2=\left(b-1\right)^2=\left(c-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a-1=b-1=c-1=0\Leftrightarrow a=b=c=1\)
c. \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Tương tự câu b ta có a = b = c
10 tháng 6 2017
bài 1 biến đổi tương đương
bài 2: Câu hỏi của Duong Thi Nhuong TH Hoa Trach - Phong GD va DT Bo Trach - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
10 tháng 6 2017
a. \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (1)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (2)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a-c\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)nên bđt (2) đúng.
=> Bđt (1) được chứng minh.
b. \(\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2a^2bc+2b^2ac+c^2ab\ge3a^2bc+3b^2ac+3c^2ab\)\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2a^2bc+2b^2ac+2c^2ab-3a^2bc-3b^2ac-3c^2ab\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-a^2bc-b^2ac-c^2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-2a^2bc-2b^2ac-2c^2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-bc\right)^2+\left(ab-ac\right)^2+\left(bc-ac\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
=> đpcm
24 tháng 7 2023
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-bc=x\\b^2-ca=y\\c^2-ab=z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge0\)
\(\)Đẳng thức cần c/m trở thành: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 3 số x,y,z, ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3.y^3.z^3}=3xyz\)
=> Đẳng thức (1) luôn đúng với mọi x
Dấu = xảy ra khi: x=y=z hay \(a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab\)
và \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\)\(\Rightarrow a=b=c\)
đăng 2 lần ở 2 web làm gì rồi COPIER lại đào lên nhai lại