Cho a,b,c là 3 canh của tam giác biết a<=b<=c Cmr (a+b+c)^2<=9abc
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ký hiệu:
AB=c; AC=b; cạnh huyền BC=a; đường cao CH=h Ta có
Xét hai t/g vuông AHC và ABC có
\(\widehat{C}\)chung
\(\widehat{CAH}=\widehat{ABC}\)(cùng phụ với \(\widehat{C}\))
=> t/g AHC đồng dạng với ABC \(\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{h}{c}\Rightarrow bc=ah\)
Xét t/g vuông ABC có
\(b^2+c^2=a^2\Rightarrow\left(b+c\right)^2=a^2+2bc\)
\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2=a^2+2ah\)( bc=ah chứng minh trên)
\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2=\left(a^2+2ah+h^2\right)-h^2=\left(a+h\right)^2-h^2\)
\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2+h^2=\left(a+h\right)^2\)
=> b+c; a+h; h là 3 cạnh của tam giác vuông trong đó cạnh huyền là a+h
Sorry!!!
Phần ký hiệu sửa thành
Đường cao AH=h
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0 và a + b > c, b + c > a, c + a > b (ĐK).
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(1\right)\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\left(2\right)\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\left(3\right)\)
Nhân (1), (2) và (3) theo vế, ta có :
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2^3.\sqrt{ab.bc.ca}=8abc\)
Mà theo đề bài (a+b)(b+c)(c+a)=8abc nên dấu "=" ở BĐT trên sẽ xảy ra, tức là khi và chỉ khi a = b = c (TMĐK) hay tam giác có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện trên là tam giác đều.
bài này chỉ biết áp dụng cô-si thôi chứ ko biết chứng minh tam giác đều
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét ΔBAN vuông tại B và ΔADM vuông tại A có
BA=AD
BN=AM
=>ΔBAN=ΔADM
=>góc BAN=góc ADM
=>góc BAN+góc AMP=90 độ
=>AN vuông góc MD tại P
=>ΔAPM vuông tại P
b: AM=4/2=2cm
DM=căn 2^2+4^2=2*căn 5(cm)
AP=2*4/2*căn 5=4/căn 5(cm)
PM=AM^2/DM=2^2/2*căn 5=2/căn 5(cm)
S APM=1/2*AP*PM=1/2*8/5=4/5(cm2)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét ΔNAM vuông tại M và ΔNDA vuông tại D có
NA chung
NA=ND(gt)
Do đó: ΔNAM=ΔNDA(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{MNA}=\widehat{DNA}\)(hai góc tương ứng)
mà tia NA nằm giữa hai tia NM,NDnên NA là tia phân giác của \(\widehat{NMD}\)hay NA là tia phan giác của \(\widehat{NMP}\)(đpcm)b) Xét ΔNMD có NM=ND(gt)nên ΔNMD cân tại N(Định nghĩa tam giác cân)Xét ΔNMD cân tại N có \(\widehat{MND}=60^0\)(gt)nên ΔNMD đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)c) Ta có: ΔNMP vuông tại M(gt)nên \(\widehat{NMP}+\widehat{MPN}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)\(\Leftrightarrow\widehat{MPN}=90^0-\widehat{NMP}=90^0-60^0=30^0\)(1)Ta có: NA là tia phân giác của \(\widehat{MNP}\)(cmt)nên \(\widehat{PNA}=\dfrac{\widehat{MNP}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)(2)Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{APN}=\widehat{ANP}\)Xét ΔANP có \(\widehat{APN}=\widehat{ANP}\)(cmt)nên ΔANP cân tại A(Định lí đảo của tam giác cân)Ta có: ΔANP cân tại A(gt)mà AD là đường cao ứng với cạnh đáy NP(gt)nên AD là đường trung tuyến ứng với cạnh NP(Định lí tam giác cân)hay D là trung điểm của NP(đpcm)