Question

[Nguyễn Minh Tuyền]

1,chứng minh x²+y² +z²\(\ge2xy+2yz-2X\)

2,  Cho a,b,c >0 . Chứng minh \(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

3, cho a + b >1 . Chứng minh a⁴ + b⁴>\(\frac{1}{8}\)

Answer 1

[nguyễn kim thương]

Bài 2 :

Ta có :

\(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{a^2b-ab^2+a^2c-ac^2}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}=\frac{ab\left(a-b\right)+ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\)( 1 )

\(\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc\left(b-c\right)+ab\left(b-a\right)}{\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)}\)( 2 )

\(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac\left(c-a\right)+bc\left(c-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)  ( 3 )

Cộng ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ta được : 

\(\left(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\right)-\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)

\(=ab\left(a-b\right)\left[\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]\)

\(+ac\left(a-c\right)\left[\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2+b62\right)}\right]\)

\(+bc\left(b-c\right)\left[\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\right]\)

Theo đề bài thì  \(a,b,c>0\)( các biểu thức trong các dấu ngoặc đều không âm ) \(\Leftrightarrow dpcm\)

Thấy đúng thì tk nka !111

Answer 2

[nguyễn kim thương]

Bài 3:

ta có :    \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

Cộng    \(a^4+b^4\)  vào 2 vế ta được:  

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)

Ta cũng có : \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\)

                  \(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\left(a+b\right)^4\)

mà theo bài thì   \(a+b>1\)\(\Rightarrow dpcm\)

TK MK NKA !!!