a) Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x2 y2 z2=3, tìm giá trị nhỏ nhất của F=$\dfrac{x^2 1}{z 2}$ $\dfrac{y^2 1}{x 2}$ $\dfrac{z^2 1}{y 2}$ b) Với a,b,c > 0 thỏa mãn ab bc ca=3, chứng minh rằng...

#Toán lớp 8

0

AD

Adu Darkwa

1 tháng 1 2021

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn: x²+ y²+ z²= 2020

Chứng minh: $\dfrac{2020}{x^2+y^2}+\dfrac{2020}{y^2+z^2}+\dfrac{2020}{z^2+x^2}\le\dfrac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3$

1

LH

le hieu minh

4 tháng 6 2021

/$2020\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)ápdụngBDT$

$\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{x^2+z^2}\ge\dfrac{9}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{9}{2\cdot2020}$

$ápdụngBĐTcosi$

$x^3+y^3+z^3\ge3xyz$

=> VP$\ge$ 9/2

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=5$ và x - y + z = 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{x+y-2}{z+2}$ bằng A. $\dfrac{1}{2}$ B. $0$ C. $\dfrac{-36}{23}$ ...

JV

Jack Viet

7 tháng 4 2021

#Toán lớp 10

0

R

Rosie

27 tháng 5 2022

cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x²≥y+z .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = $\dfrac{1}{x^2}\left(y^2+z^2\right)+\dfrac{7x^2}{2}\left(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)+2007$

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

28 tháng 5 2022

Lời giải:

Sửa: $x^2\geq y^2+z^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$P\geq \frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{7x^2}{2}.\frac{4}{y^2+z^2}+2007$

$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{14x^2}{y^2+z^2}+2007$

$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$

$\geq 2+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$ (áp dụng BĐT Cô-si)

$\geq 2+13+2007=2022$ (do $x^2\geq y^2+z^2$)

Vậy $P_{\min}=2022$

Đúng(1)

DT

Dương Thanh Ngân

24 tháng 1 2021

Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện x²+y²+z²=2

Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{y^2+z^2}+\dfrac{2}{z^2+x^2}-\dfrac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

25 tháng 1 2021

Lời giải:Vì $x^2+y^2+z^2=2$ nên:

$P=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

$=3+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

$\leq 3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

(theo BĐT AM-GM)

$=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}=3$

Vậy $P_{\max}=3$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}$

K

Kresol♪

16 tháng 12 2020

cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn x²+y²+z²=$\dfrac{3}{4}$

Cmr:2(1-x)(1-y)$\ge$z

1) Với x, y, z là các số thực thỏa mãn xy + yz + zx = 13, chứng minh rằng $21x^2+21y^2+z^2\ge78$2) Cho các số thực x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 3xyz, chứng minh rằng$\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6$3) Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3, tìm giá trị nhỏ nhất của P = a3 + 64b3 +...

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

17 tháng 12 2020

Với mọi x;y;z ta luôn có:

$\left(x+y-1\right)^2+\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-2x-2y+1+z^2-z+\dfrac{1}{4}\ge0$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+\dfrac{5}{4}+2xy-2x-2y-z\ge0$

$\Leftrightarrow2+2xy-2x-2y\ge z$

$\Leftrightarrow2\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge z$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$

Đúng(1)

LT

Lê Thanh Quang

10 tháng 6 2020

#Toán lớp 8

2

NL

Nguyễn Linh Chi

10 tháng 6 2020

1) $21x^2+21y^2+z^2$

$=18\left(x^2+y^2\right)+z^2+3\left(x^2+y^2\right)$

$\ge9\left(x+y\right)^2+z^2+3.2xy$

$\ge2.3\left(x+y\right).z+6xy$

$=6\left(xy+yz+zx\right)=6.13=78$

Dấu "=" xảy ra <=> x = y ; 3(x+y) = z; xy + yz + zx= 13 <=> x = y = 1; z= 6

NL

Nguyễn Linh Chi

10 tháng 6 2020

2) $x+y+z=3xyz$

<=> $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3$

Đặt: $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c$=> ab + bc + ca = 3

Ta cần chứng minh: $3a^2+b^2+3c^2\ge6$

Ta có: $3a^2+b^2+3c^2=\left(a^2+c^2\right)+2\left(a^2+c^2\right)+b^2$

$\ge2ac+\left(a+c\right)^2+b^2\ge2ac+2\left(a+c\right).b=2\left(ac+ab+bc\right)=6$

Vậy: $\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6$

Dấu "=" xảy ra <=> a = c = $\sqrt{\frac{3}{5}}$; $b=2\sqrt{\frac{3}{5}}$

khi đó: $x=z=\sqrt{\frac{5}{3}};y=\sqrt{\frac{5}{3}}$

DN

Diệp Nguyễn Thị Huyền

25 tháng 10 2021

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức A =$\dfrac{1}{x+y+z}-\dfrac{2}{xy+yz+zx}$

0

VT

Viêt Thanh Nguyễn Hoàng

2 tháng 4 2021

Cho a,b,c dương thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=3$

Chứng minh rằng :

$\dfrac{x}{x^2+2y+3}+\dfrac{y}{y^2+2z+3}+\dfrac{z}{z^2+2x+3}\le\dfrac{1}{2}$

12.Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le3.$Tính giá trị lớn nhất của biể thức: $P=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ac+3a^2+1}}$13. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}$14. Xét các...

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

2 tháng 4 2021

$VT\le\dfrac{x}{2x+2y+2}+\dfrac{y}{2yz+2z+2}+\dfrac{z}{2z+2x+2}$

Nên ta chỉ cần chứng minh: $\dfrac{x}{x+y+1}+\dfrac{y}{y+z+1}+\dfrac{z}{z+x+1}\le1$

$\Leftrightarrow\dfrac{y+1}{x+y+1}+\dfrac{z+1}{y+z+1}+\dfrac{x+1}{z+x+1}\ge2$

Thật vậy, ta có:

$VT=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(z+x+1\right)}+\dfrac{\left(y+1\right)^2}{\left(y+1\right)\left(x+y+1\right)}+\dfrac{\left(z+1\right)^2}{\left(z+1\right)\left(y+z+1\right)}$

$VT\ge\dfrac{\left(x+y+z+3\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx+3}$

$VT\ge\dfrac{6\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)+12}{3\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx+6}=2$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Đúng(1)

NL

Nguyễn Linh Chi

17 tháng 6 2019

Câu hỏi hay

6

TP

Trần Phúc Khang

17 tháng 6 2019

12. Ta có $ab\le\frac{a^2+b^2}{2}$

=> $a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1$

Lại có $\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2$

=> $\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}$

=> $\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}.\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)$

Khi đó

$P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Vậy $MaxP=\frac{3}{2}$khi a=b=c=1

TP

Trần Phúc Khang

17 tháng 6 2019

13. Ta có $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1$

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}$( BĐT cosi)

=> $1\ge\frac{9}{a+b+c+3}$

=> $a+b+c\ge6$

Ta có $a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$

=> $\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=a-b$

Tương tự $\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c$,,$\frac{c^3-a^2}{c^2+ac+a^2}=c-a$

Cộng 3 BT trên ta có

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+c^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{c^2+bc+b^2}+\frac{a^3}{a^2+ac+c^2}$

Khi đó $2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+...$

=> $2P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+....$

Xét $\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}$

<=> $3\left(a^2-ab+b^2\right)\ge a^2+ab+b^2$

<=> $a^2+b^2\ge2ab$(luôn đúng )

=> $2P\ge\frac{1}{3}\left(a+b+b+c+a+c\right)=\frac{2}{3}.\left(a+b+c\right)\ge4$

=> $P\ge2$

Vậy $MinP=2$khi a=b=c=2

Lưu ý : Chỗ .... là tương tự