Cho x, y, z > 0 và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=4\) .
CMR : \(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 10 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)(x+x+y+z)\geq (1+1+1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{2x+y+z}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{x+2y+z}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\geq \frac{16}{x+y+2z}\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được:
\(\Rightarrow 4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 16\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(\Rightarrow 16\geq 16\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1\)
Ta có đpcm.
14 tháng 10 2018
Ta có :
\(\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{16}{16\left(x+x+y+z\right)}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\dfrac{1}{x+2y+z}=\dfrac{16}{16\left(x+y+y+z\right)}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\dfrac{1}{x+y+2z}=\dfrac{16}{16\left(x+y+z+z\right)}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Cộng từng vế của BĐT ta được :
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=1\)
Vậy BĐT đã được chứng minh !
TA
6 tháng 11 2018
\(\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{x+y+x+z}\le\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\)
\(\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Tuong tu : \(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)\)
\(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{2}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)\)
=> \(VT\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)\)
= \(\dfrac{1}{16}.\left[4.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\right]=1\left(dpcm\right)\)
6 tháng 11 2018
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Cộng theo vế suy ra đpcm. \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
7 tháng 3 2021
Áp dụng bđt phụ \(\dfrac{1}{A+B}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}\right)\forall A,B>0\)
\(\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\) Tương tự: \(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)=1\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
BC
7 tháng 3 2021
Này Nguyễn Trọng Chiến, mk ko hiểu cái chỗ \(\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\)??? Sao suy ra được vậy bn??
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 3 2021
\(\dfrac{1}{x+x+y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\) ; \(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
BC
7 tháng 3 2021
Mk ko hiểu cái dòng đầu Nguyễn Việt Lâm Giáo viên, bn có thể nói chi tiết cách phân tích cho mk đc ko??
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 10 2018
Bạn xem tại đây :
Câu hỏi của Dương Thị Thu Ngọc - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 8 2018
Bài 1:
\((x,y,z)=(\frac{2a^2}{bc}; \frac{2b^2}{ca}; \frac{2c^2}{ab})\) (\(a,b,c>0\) )
Khi đó:
\(\text{VT}=\frac{\frac{4a^4}{b^2c^2}}{\frac{4a^4}{b^2c^2}+\frac{4a^2}{bc}+1}+\frac{\frac{4b^4}{c^2a^2}}{\frac{4b^4}{c^2a^2}+\frac{4b^2}{ca}+4}+\frac{\frac{4c^4}{a^2b^2}}{\frac{4c^4}{a^2b^2}+\frac{4c^2}{ab}+4}\)
\(=\frac{a^4}{a^4+a^2bc+b^2c^2}+\frac{b^4}{b^4+b^2ac+a^2c^2}+\frac{c^4}{c^4+c^2ab+a^2b^2}\)
\(\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+a^2bc+b^2ac+c^2ab+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\)
(Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz)
Theo BĐT Cauchy dễ thấy:
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a^2bc+b^2ca+c^2ab\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=2$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 8 2018
Bài 2:
Đặt \((x,y,z)=\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c}; \frac{c}{a}\right)\)
Ta có:
\(\text{VT}=\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}-1\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{a}{c}-1\right)\left(\frac{c}{a}+\frac{b}{a}-1\right)\)
\(=\frac{(a+c-b)(b+a-c)(c+b-a)}{abc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\((a+c-b)(b+a-c)\leq \left(\frac{a+c-b+b+a-c}{2}\right)^2=a^2\)
\((b+a-c)(c+b-a)\leq \left(\frac{b+a-c+c+b-a}{2}\right)^2=b^2\)
\((a+c-b)(c+b-a)\leq \left(\frac{a+c-b+c+b-a}{2}\right)^2=c^2\)
Nhân theo vế:
\(\Rightarrow [(a+c-b)(b+a-c)(c+b-a)]^2\leq (abc)^2\)
\(\Rightarrow (a+c-b)(b+a-c)(c+b-a)\leq abc\)
\(\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$
18 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) \(\geq \) \(\dfrac{4}{x+y}\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\) \(\geq\) \(\dfrac{1}{x+y}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{2x+y+z}\)=\(\dfrac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\)\(\leq\)\(\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\)\(\leq\)\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+z}\right)\right)\)=\(\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)(1)
Chứng minh tương tự,ta có:
\(\dfrac{1}{x+2y+z}\) \(\leq\) \(\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)(2)
\(\dfrac{1}{x+y+2z}\) \(\leq\) \(\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)\)(3)
Đặt: \(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\) là VT
Cộng các BĐT(1),(2),(3) lại với nhau ta được:
VT \(\leq\)\(\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow\) VT \(\leq\) \(\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)\)=\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)=\(\dfrac{1}{4}.4=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\) \(\leq\) 1
Dấu = xảy ra khi x=y=z=\(\dfrac{3}{4}\)
Ta có bất đẳng thức AM-GM dạng phân thức sau:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow \dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b
Quay lại bài toán: Áp dụng bđt trên, ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{(x+y)+(x+z)}\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z})\\ \le\dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z})=\dfrac{1}{16}(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z})\); \(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z})\)
Cộng 3 phân thức lại, ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})=\dfrac{1}{4}.4=1\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=z=\dfrac{3}{4}\)