Tìm tất cả các đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 và thoả mãn hệ thức sau ít nhất 4 giá trị phân biệt của x : x.P(x – 1) = (x – 2).P(x)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 10 2015
P = x4.y4 + x4 + y4 + 1
Ta có: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 10 - 2xy => x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (10 - 2xy)2 - 2(xy)2 = 100 - 40xy + 2(xy)2
=> P = (xy)4 + 2(xy)2 - 40xy + 101 = [(xy)4 - 8(xy)2 + 16] + 10.[(xy)2 - 4xy + 4] + 45 = [(xy)2 - 4]2 + 10.(xy - 2)2 + 45
=> P > 45
Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2
Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y2 = 2 => y2 - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0
\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
vậy P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
1 tháng 10 2015
P = x4.y4 + x4 + y4 + 1
Ta có: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 10 - 2xy => x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (10 - 2xy)2 - 2(xy)2 = 100 - 40xy + 2(xy)2
=> P = (xy)4 + 2(xy)2 - 40xy + 101 = [(xy)4 - 8(xy)2 + 16] + 10.[(xy)2 - 4xy + 4] + 45 = [(xy)2 - 4]2 + 10.(xy - 2)2 + 45
=> P > 45
Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2
Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y2 = 2 => y2 - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0
\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
vậy P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
B
6 tháng 2 2021
Giả sử (x-a)(x-10)+1 phân tích thành tích 2 đa thức bậc nhất có hệ số nguyên:(x-a)(x-10)+1 = (x-b)(x-c) x²-(10+a)x+10a+1 = x²-(b+c)x+bc => 10+a = b+c và 10a+1 = bc. bc=10a+1=10a+100 – 99 = 10(a+10)-99 = 10(b+c)-99 =>bc=10(b+c)-99 =>bc-10b-10c+100=1 (b-10)(c-10)=1 =>b-10=c-10=±1 b-10=c-10=1 => b=c=11 => a=b+c-10=12 b-10=c-10=-1 => b=c=9 => a=b+c-10=8 Vậy a=10 và a=8 a=12 => (x-a)(x-10)+1 =(x-12)(x-10)+1 = x²-22x+121 =(x-11)(x-11) a=8 => (x-a)(x-10)+1 =(x-8)(x-10)+1 = x²-18x+81=(x-9)(x-9)
BC
6 tháng 2 2021
ko hỉu j cả Nguyễn Thị Thuỳ Linh CTV, bn có thể trình bày rõ ràng đc ko. Cám ơn nhiều!
\(x.P\left(x-1\right)=\left(x-2\right).P\left(x\right)\) (1)
Thay \(x=0\) vào (1) \(\Rightarrow0.P\left(-1\right)=-2.P\left(0\right)\Rightarrow P\left(0\right)=0\)
\(\Rightarrow x=0\) là 1 nghiệm của đa thức
Thay \(x=2\) vào (1):
\(2.P\left(1\right)=0.P\left(2\right)\Rightarrow P\left(1\right)=0\)
\(\Rightarrow x=1\) là 1 nghiệm của đa thức
\(\Rightarrow\) \(P\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm \(x=0;x-1\)
Mà bậc P(x) nhỏ hơn 4 nên P(x) tối đa có bậc 3
\(\Rightarrow P\left(x\right)=k.x.\left(x-1\right).\left(ax+b\right)\) với \(k\ne0\)
Thay vào (1)
\(\Rightarrow x.k\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax-a+b\right)=kx\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax+b\right)\)
\(\Rightarrow kx\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax-a+b-ax-b\right)=0\)
\(\Rightarrow kx\left(x-1\right)\left(x-2\right).\left(-a\right)=0\)
\(\Rightarrow a=0\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=a.x.\left(x-1\right)\) với a là số thực khác 0 bất kì