Question

[Diệp Nguyễn Ngọc]

1, Chứng minh rằng

a) 1005a+2100b⋮15 ∀a, bϵ N

b) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp ⋮ 3

c) Tổng các 4 số tự nhiên liên tiếp ⋮ 4

d) Tổng của 5 số chẵn liên tiếp ⋮ 10

e) Tổng của 5 số lẻ liên tiếp ⋮ 10 dư 5

3 Cho 4 số tự nhiên ko chia hết cho 5, khi chia cho 5 được 4 số dư khác nhau, chứng minh rằng: tổng 4 số ⋮ 5

 đây là toán nâng cao khi học năng khiếu có gì mn giúp mình với ạ

Answer 1

[Trương Nhật Minh]

1. Chứng minh rằng:

a. \(1005a+2100b⋮15,\forall a,b\inℕ\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}1005⋮3\\1005⋮5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2100⋮3\\2100⋮5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}1005a⋮3\\1005a⋮5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2100b⋮3\\2100b⋮5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) 

Vì \(\left(3;5\right)=1\) suy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}1005a⋮15\\2100b⋮15\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1005a+2100b⋮15,\forall a,b\inℕ\)

b.

3 số tự nhiên liên tiếp có dạng:

\(a;a+1;a+2;a\inℕ\)

Tổng 3 số tự nhiên liên tiếp là: 

\(a+a+1+a+2=3a+3\\ =3\left(a+1\right)⋮3\left(đpcm\right)\)

c.

Bốn số liên tiếp có dạng:

\(a;a+1;a+2;a+3;a\inℕ\)

Tổng 4 số tự nhiên liên tiếp là:

\(a+a+1+a+2+a+3=4a+6\\ \)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a⋮4\\6⋮̸4\end{matrix}\right.\)  \(4a+6⋮̸4\)

d.

5 số chẵn liên tiếp là:

\(2k;2k+2;2k+4;2k+6;2k+8;k\inℕ\)

Tổng 5 số chẵn liên tiếp là:

\(2k+2k+2+2k+4+2k+6+2k+8\\ =10k+20\\ =10\left(k+2\right)⋮10.đpcm\)

e.

5 số lẻ liên tiếp có dạng:

\(2k+1;2k+3;2k+5;2k+7;2k+9;k\inℕ\)

Tổng 5 số lẻ liên tiếp là:

\(2k+1+2k+3+2k+5+2k+7+2k+9\\ =10k+20+5=10\left(k+2\right)+5:10.dư.5\)

2.

Một số tự nhiên chia cho 5 có số dư có thể là 1;2;3 hoặc 4

Theo bài ra ta có 4 số tự nhiên thõa mãn bài toán có dạng:

\(5k+1;5k+2;5k+3;5k+4;k\inℕ\)

Tổng bốn số tự nhiên đã cho là:

\(5k+1+5k+2+5k+3+5k+4\\ =20k+10\\ =10\left(2k+1\right)⋮5\Rightarrowđpcm\)