Question

[Phạm Thanh Trà]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Qua trung điểm I của AC, dựng ID vuông góc với BC. CMR:   BD² – CD² = AB²

Answer 1

[Hà Ngọc Toàn]

Từ A hạ AK vuông góc với BC. Ta có  KD = DC

Mà : BD^2 - CD^2=(BC-CD)^2 - CD^2= BC^2+CD^2-2BC.CD

= BC^2-BC.2CD=BC^2-BC.KC

= BC^2-AC^2=AB^2(dpcm)

(*) : AB^2=BC^2-AC^2

Answer 2

[Nguyễn Thị Hoa]

Từ I dựng đường thẳng vuông góc với AC và cắt BC tại E. Mà AB cũng vuông góc với AC => IE//ABIE//AB => IE là đường trung bình của tam giác ABC => AB=2.IEAB=2.IE và EB=EC=BC2EB=EC=BC2

=> AB2=4.IE2AB2=4.IE2

Xét tam giác vuông EIC có :

IE2=ED.ECIE2=ED.EC (Bình phương 1 cạnh góc vuông = tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

⇒AB2=4.IE2=4.ED.EC⇒AB2=4.IE2=4.ED.EC (1)

Ta có EC=BC2EC=BC2 và ED=EC−CD=BC2−CDED=EC−CD=BC2−CD Thay vào (1) ta có:

AB2=4.(BC2−CD).BC2=4.(BC24−CD.BC2)AB2=4.(BC2−CD).BC2=4.(BC24−CD.BC2)

AB2=BC2−2.CD.BCAB2=BC2−2.CD.BC (2)

Mà BC=BD+CDBC=BD+CD Thay vào (2)

⇒AB2=(BD+CD)2−2.CD.(BD+CD)=BD2+CD2+2.BD.CD−2.BD.CD−2.CD2⇒AB2=(BD+CD)2−2.CD.(BD+CD)=BD2+CD2+2.BD.CD−2.BD.CD−2.CD2

⇒AB2=BD2−CD2⇒AB2=BD2−CD2 (đpcm)