Question

[Nguyễn Quỳnh Chi]

Chứng minh rằng:  Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số bán kính của 2 đường tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng , tỉ số bán kính 2 đường tròn nội tiếp bằng tỉ số đồng dạng

Answer 1

[Lê Song Phương]

Giả sử \(\Delta ABC~\Delta DEF\). Đặt \(BC=a;AC=b;AB=c;EF=d;DF=e;DE=f\) \(\left(a,b,c,d,e,f>0\right)\). Đặt \(\dfrac{a}{d}=k\left(k>0\right)\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC lần lượt là \(R_1,r_1\)  với \(R_1>r_1>0\) 

Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác DEF lần lượt là \(R_2,r_2\) với \(R_2>r_2>0\)

Theo công thức diện tích, ta có \(S_{ABC}=\dfrac{abc}{4R_1}\) và \(S_{DEF}=\dfrac{def}{4R_2}\). Do đó: \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=\dfrac{\dfrac{abc}{4R_1}}{\dfrac{def}{4R_2}}=\dfrac{abc.4R_2}{def.4R_1}\)

Mà \(\dfrac{a}{d}=\dfrac{b}{e}=\dfrac{c}{f}=k\) nên \(\dfrac{abc}{def}=k^3\)

Lại có \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=k^2\) nên ta có \(k^2=k^3.\dfrac{4R_2}{4R_1}\) hay \(\dfrac{R_2}{R_1}=\dfrac{1}{k}\) hay \(\dfrac{R_1}{R_2}=k\) (đpcm 1)

Mặt khác ta có \(S_{ABC}=p_1r_1\) với \(p_1=\dfrac{a+b+c}{2}\) 

và \(S_{DEF}=p_2r_2\) với \(p_2=\dfrac{d+e+f}{2}\)

Ta thấy \(\dfrac{a}{d}=\dfrac{b}{e}=\dfrac{c}{f}=\dfrac{a+b+c}{d+e+f}=k\) hay \(\dfrac{\dfrac{a+b+c}{2}}{\dfrac{d+e+f}{2}}=k\) hay \(\dfrac{p_1}{p_2}=k\)

Mà \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=\dfrac{p_1r_1}{p_2r_2}\) hay \(k^2=k.\dfrac{r_1}{r_2}\) hay \(\dfrac{r_1}{r_2}=k\) (đpcm 2)

Như vậy ta có đpcm