Question

[Đinh Thị Ngọc Anh]

Cho (O;R) đường kính AB. M nằm trên (O). Về phía ngoài tam giác MAB vẽ tam giác MAC vuông cân tại A, tam giác BMD vuông cân tại B. Chứng minh trung điểm I của CD nằm trên (O)

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Gọi \(I'\) là giao điểm của CD với (O) . CA và DB kéo dài cắt nhau tại K . Ta dễ dàng chứng minh được  K thuộc (O) và tam giác KCD vuông cân tại K. (1)

Trước tiên ta chứng minh \(C,M,D\) thẳng hàng :

Ta có \(\widehat{CMA}+\widehat{AMB}+\widehat{BMD}=45^o+90^o+45^o=180^o\) => C,M,D thẳng hàng. (2)

Xét trong (O) có : \(\widehat{I'MB}=\widehat{I'KB}=\frac{1}{2}\text{sđcung}BI'=45^o\) 

Từ đó suy ra được \(\hept{\begin{cases}KI'\perp CD\left(3\right)\\\text{ }I'\in\left(O\right)\left(\text{**}\right)\end{cases}}\)

Từ (1) và (3) suy ra \(I'\) là trung điểm của CD, mà I cũng là trung điểm của CD

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}I'\equiv I\\CI=ID\end{cases}}\) (*)

Từ (*) và (**) ta suy ra đpcm.

Answer 2

[Đinh Thị Ngọc Anh]

thank you very much