Cho 2015 số nguyên dương a1,a2,a3,...a2015 thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}\) \(\frac{1}{\sqrt{a_2}}\) \(\frac{1}{\sqrt{a_3}}\) ... \(\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\) lớn hơn hoặc bằn...

NQ

Nguyễn Quỳnh Chi

29 tháng 8 2016

Câu hỏi hay

Cho 2015 số nguyên dương a1,a2,a3,...a2015 thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{a_2}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{a_3}}\) + ...+ \(\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\) lớn hơn hoặc bằng 89. CMR: trong 2015 số nguyên dương đó, luôn tồn tại ít nhất 2 số bằng...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

PT

phan tuấn anh

27 tháng 4 2016

Câu hỏi hay

cho 2015 số nguyên dương a1;a2;...;a2015 thỏa mãn điều kiện

\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\ge89\)

chứng minh rằng trong 2015 số nguyên dương đó luôn tồn tại ít nhất 2 sô bằng nhau

#Toán lớp 9

3

NT

Nguyễn Tuấn Anh

28 tháng 4 2016

Vì \(a_1,a_2,....,a_{2015}\)là các số nguyên dương, để không mất tính tổng quát ta giả sử \(a_1\le a_2\le a_3\le.....\le a_{2015}\)Suy ra
\(a_1\ge1,a_2\ge2,.......,a_{2015}\ge2015\) Vậy ta có \(A=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+..........+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\le\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+.....+\frac{1}{\sqrt{2015}}=B\)

\(B=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+.....+\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2015}}<1+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+.....+\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}=C\)

Ta có trục căn thức ở mẫu của \(C\)Ta có: \(C=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{2014}+\sqrt{2014}-\sqrt{2013}+.....+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+1=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{1}\right)+1\)

Mà: \(C=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{1}\right)+1<89\)Trái với giả thiết Vậy tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau trong 2015 số nguyên dương đó

Đúng(0)

TG

Thân Gia Bảo

28 tháng 4 2016

http://olm.vn/thanhvien/phantuananhlop9a1

Đúng(0)

BN

Bùi nguyễn Hoài Anh

23 tháng 4 2016

Cho số nguyên dương a1,a2,a3,...,a2015 tm điều kiện"

\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\ge89\)

CMR trong 2015 số nguyên dương đó , luôn tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.

#Toán lớp 9

3

SL

s2 Lắc Lư s2

23 tháng 4 2016

trong sách nâng cao và phất triển 1 số chuyên đề toàn 9 tập 1 có đó

Đúng(0)

BN

Bùi nguyễn Hoài Anh

23 tháng 4 2016

p giải giúp mik đk k .. mik k có sách đấy

Đúng(0)

BN

Bao Nguyen Trong

19 tháng 3 2020

cho 36 số tự nhiên \(a_1,a_2,a_3,...,a_{36}\) thoả mãn điều kiện: \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{36}}}=11\). chứng minh rằng trong 36 số tự nhiên đó tồn tại hai số bằng nhau

#Toán lớp 9

1

TT

Thanh Tùng DZ

20 tháng 3 2020

giả sử trong 36 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử :

\(a_1< a_2< ...< a_{36}\)

Suy ra : \(a_1\ge1;a_2\ge2;...;a_{36}\ge36\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{36}}}\le\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{36}}\)( 1 )

Ta có : \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{36}}=1+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{36}}\)

\(< 1+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+...+\frac{2}{\sqrt{36}+\sqrt{35}}\)

\(=1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+...+2\left(\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\)

\(=2\left(\sqrt{36}-\sqrt{1}\right)+1=11\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{36}}}< 11\)( trái với giả thiết )

\(\Rightarrow\)tồn tại 2 số bằng nhau trong 36 số tự nhiên đã cho

Đúng(0)

HC

Hà Cẩm Tú

11 tháng 1 2016

Cho 2015 số nguyên dương a₁;a₂;...;a₂₀₁₅ thỏa mãn:

\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\ge89\)

CMR trong 2015 số nguyên dương đó,luôn tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.

#Toán lớp 9

0

TH

Trần Hữu Sang

23 tháng 4 2022

Giúp em với ạ. Cho 361 số tự nhiên a1, a2, a3, a361 thoả mãn điều kiện: \(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}\) + \(\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}\) + \(\dfrac{1}{\sqrt{a_3}}\) + ... + \(\dfrac{1}{\sqrt{a_{361}}}\) = 37 Chứng minh rằng trong 361 số tự nhiên đó, tồn tại ít nhất 2 số bằng...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

23 tháng 4 2022

Phản chứng: giả sử trong 361 số đó, không có 2 số nào bằng nhau

Không mất tính tổng quát, giả sử:

\(0< a_1< a_2< ...< a_{361}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1\ge1\\a_2\ge2\\...\\a_{361}\ge361\end{matrix}\right.\)

Đặt \(S=\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{361}}}\)

\(\Rightarrow S\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{361}}\)

\(\Rightarrow S\le1+2\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{2\sqrt{361}}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{360}+\sqrt{361}}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}+...+\dfrac{\sqrt{361}-\sqrt{360}}{\left(\sqrt{361}+\sqrt{360}\right)\left(\sqrt{361}-\sqrt{360}\right)}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{361}-\sqrt{360}\right)\)

\(\Rightarrow S< 1+2\left(\sqrt{361}-1\right)=37\)

Trái với giả thiết \(S=37\)

\(\Rightarrow\) Điều giả sử là sai hau trong 361 số tự nhiên đó tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau

Đúng(1)

TH

Trần Hữu Sang

23 tháng 4 2022

em cảm ơn nhiều ạ

Đúng(0)

DD

Dung Đặng Phương

27 tháng 7 2017

Cho 25 số tự nhiên \(a_1,a_2,...,a_{25}\)thỏa mãn:

\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}=9\). Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.

#Toán lớp 9

2

TA

Thiên An

27 tháng 7 2017

giup cai? can gap! gap! gap!? | Yahoo Hỏi & Đáp

Đúng(0)

I

IS

19 tháng 3 2020

chứng minh = phản chứng . giả sử trong 25 số tự nhiên ko có 2 số nào bằng nhau . ko mất tính tổng quát , giả sử\(a_11,a_22,..,a_{25}25\)

thế thì

\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+..+\frac{1}{\sqrt{25}}\)

ta lại có \(\frac{1}{\sqrt{25}}+..+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{1}}=\frac{1}{\sqrt{25+\sqrt{25}}}+\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}+1\)

\(< \frac{2}{\sqrt{24+\sqrt{24}}}+.+\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}+1\)

\(=2\left(\sqrt{25}-\sqrt{24}+\sqrt{24}-\sqrt{23}+...+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+1=2\left(\sqrt{25}-\sqrt{1}\right)+1=9\left(2\right)\)

từ (1) zà 2 suy ra \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+..+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}< 9\)trái zới giả thiết , suy ra ko tồn tại 2 số nào = nhau trong 25 số

Đúng(1)

GR

Ghost Rider

10 tháng 6 2015

cho các số nguyên dươnga₁,a₂,...a₂₀₁₅ thỏa mãn: \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+......+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\ge89\)

cmr: luôn có ít nhất 2 số bằng nhau

#Toán lớp 9

0

NT

Nguyễn Thị Thu Hằng

18 tháng 12 2019

2.a, cho A=\(\frac{1}{7^2}-\frac{1}{7^4}+\frac{1}{7^6}-\frac{1}{7^8}+...+\frac{1}{7^{98}}-\frac{1}{7^{100}}\) . CMR :\(A< \frac{1}{50}\)b,Giả sử có 2015 số nguyên dương \(_{a_1,a_2,a_3,...,a_{2015}}\)thỏa mãn : \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}\)+...+\(\frac{1}{a_{2015}}\)=1008 . CMR:có ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho =...

Đọc tiếp

#Toán lớp 7

1

S

✰๖ۣۜŠɦαɗøω✰

5 tháng 4 2020

a) A = \(\frac{1}{7^2}-\frac{1}{7^4}+\frac{1}{7^6}-\frac{1}{7^8}+...+\frac{1}{7^{98}}-\frac{1}{7^{100}}\)

Nhân \(\frac{1}{7^2}\)với A .Ta được :

A .\(\frac{1}{7^2}\)= \(\frac{1}{7^4}-\frac{1}{7^6}+\frac{1}{7^8}-...-\frac{1}{7^{98}}+\frac{1}{7^{100}}-\frac{1}{7^{102}}\)

Ta có : \(\frac{1}{7^2}.A+A=\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\)

\(\Rightarrow\frac{50}{49}.A=\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\)

\(\Rightarrow A.\left(\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\right).\frac{49}{50}< \frac{1}{50}\left(đpcm\right)\)

b)Giả sử a₁>a₂ > a₃ ...> a₂₀₁₅ nên a₁ > a₂₀₁₅

Theo đề ra ta có : \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2015}}< \frac{1}{2016}+\frac{1}{2015}+...+1=A\)

A< \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{8}\right)\)có 2007 số \(\frac{1}{8}\)

Mà \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{8}\right)< 1+1+...+\frac{2018}{8}\)

Giả sử trong 2015 số nguyên dương đã cho không có số nào bằng nhau .

Và a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₂₀₁₅

Ta có : \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_{2015}}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2011}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+1007=1008\)

=> Giả sử là sai => ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho bằng nhau ( đpcm )

Đúng(0)

Z

Zephys

8 tháng 8 2019

Cho 2012 số nguyên dương \(a_1,a_2,a_3,...,a_{2012}\) thỏa mãn:

\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2012}}}=125\)

Chứng minh: Trong 2012 số trên tồn tại ít nhất 3 số bằng nhau

#Toán lớp 9

0

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP