Cho biểu thức \(A=\frac{4xy}{x^2-y^2}:\left(\frac{1}{x^2-y^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)\). Nếu x,y là các số thực thỏa mãn \(x^2+3y^2+2x-2y=1\). Tìm các giá trị nguyên dương của A.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 11 2018
\(P=2x\left(x+y\right)=2x^2+2xy\) Với x khác y, x khác -y
\(3x^2+y^2+2x-2y=1\)\(\Leftrightarrow2x^2+2xy+y^2+x^2+1-2xy+2x-2y=2\)
\(\Leftrightarrow P+\left(x-y+1\right)^2=2\)\(\Leftrightarrow P=2-\left(x-y+1\right)^2\le2\)vì \(\left(x-y+1\right)^2\ge0\)với mọi x, y là số thực
Vì P nguyên dương => P=1
Khi đó \(\left(x-y+1\right)^2=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y+1=-1\\x-y+1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=-2\\x-y=0\left(loai\right)\end{cases}}\)
vì x khác y
HF
13 tháng 10 2019
Câu 1:
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1/2
HF
13 tháng 10 2019
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)
CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
S
7 tháng 5 2020
\(P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}\)
\(=\frac{1}{x\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}+\frac{1}{y\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)}+\frac{1}{z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\) thì \(a^2+b^2+c^2=1\) Ta cần chứng minh:
\(P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)
\(=\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\)
\(=\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}+\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}+\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\)
Theo đánh giá bởi AM - GM ta có:
\(a^2\left(1-a^2\right)^2=\frac{1}{2}\cdot2a^2\cdot\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)
\(\Rightarrow a\left(1-a^2\right)^2\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{a^2}{a\left(1-a\right)^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)
Tương tự rồi cộng lại ta có ngay điều phải chứng minh
