Question

[Vũ Minh Anh]

Cho tam giác ABC, P là giao điểm 3 đường phân giác,  1 đường thẳng đi qua P và song song với CP cắt AC, BC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng :

a) \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\)

b) \(\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CP^2}{AP.AC}=1\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Ta có ^APB = ^BAC/2 + ^ABC/2 + ^ACB = 90⁰ + ^ACB/2 = ^AMP; ^BAP = MAP

Suy ra \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)APB (g.g) => \(\frac{AM}{PM}=\frac{AP}{BP}\). Tương tự \(\frac{PN}{BN}=\frac{AP}{BP}\)

Từ đó \(\frac{AM}{BN}.\frac{PN}{PM}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\). Dễ thấy PM = PN, vậy \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\)

b) Theo hệ thức lượng và tam giác đồng dạng, ta có biến đổi sau:

\(\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)

\(=\frac{AM}{AP}.\frac{AP}{AC}+\frac{BN}{BP}.\frac{BP}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)

\(=\frac{AP^2}{AB.AC}+\frac{BP^2}{BA.BC}+\frac{CP^2}{CA.CB}\)

\(=\frac{AP^2.BC+BP^2.CA+CP^2.AB}{BC.CA.AB}\)

\(=\frac{AP^2.\sin A+BP^2.\sin B+CA^2.\sin C}{2S}\)(S là diện tích tam giác ABC)

\(=\frac{AP^2.\sin\frac{A}{2}.\cos\frac{A}{2}+BP^2.\sin\frac{B}{2}.\cos\frac{B}{2}+CP^2.\sin\frac{C}{2}.\cos\frac{C}{2}}{S}\)

\(=\frac{FA.FP+DB.DP+EC.EP}{S}=\frac{dt\left[AFPE\right]+dt\left[BDPF\right]+dt\left[CEPD\right]}{S}=1.\)