Question

[Ngô Văn Tuyên]

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (0) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC và cát tuyến AMN không đi qua O. Gọi I là trung điểm của MN.

a. Chứng minh AB² = AM.AN

b. CM: 5 điểm A, O , I , B , C. cùng thuộc một đường tròn

c. D là giao điểm của BC và AI chứng minh : IB/IC = DB/ DC 

Answer 1

[Seu Vuon]

c) Trong đường tròn đ qua 5 điểm A,B,I,O,C có AB = AC => cung AB = cung AC => góc AIB = góc AIC ( chắn 2 cung = nhau)

=> IA là phân giác góc BIC

Trog tam giác IBC có ID là phân giác => IB/IC = DB/DC

Answer 2

[Trần Thị Loan]

c) +) Dễ có: tam giác ABO = ACO ( chung cạnh huyền AO - cạnh góc vuông BO = CO ) 

=> AB = AC => tam giác ABC cân tại A => góc ABC = ACB

+) Do B; I; C;A cùng thuộc một đường tròn (theo câu b)

=> Có:góc BIA và BCA là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB => góc BIA = góc BCA 

Mà góc BCA = ABC  nên góc BIA = ABC

Xét tam giác ABD và AIB có: góc BAD chung; góc BIA = ABD 

=> tam giác ABD đồng dạng với AIB (g - g)

=> \(\frac{BD}{IB}=\frac{AB}{AI}\)                          (*)

+) Tương tự, ta có: góc ABC và góc AIC là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC

=> góc ABC = AIC mà góc ABC = ACB => góc AIC = ACB

Xét tam giác ADC và ACI có: góc IAC chung; góc ACD = góc AIC 

=> tam giác ADC đồng dạng với ACI (g - g)

=> \(\frac{DC}{CI}=\frac{AC}{AI}=\frac{AB}{AI}\) (do AB = AC)             (**)

từ (*)(**) => \(\frac{BD}{IB}=\frac{DC}{IC}\Rightarrow\frac{IB}{IC}=\frac{BD}{DC}\) (đpcm)