Question

[Trần Văn Cường]

Cho tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\),với a,b,c là các hằng số,x là biến số.

Chứng minh rằng:

a.Nếu a>0 thì f(x) có giá trj nhỏ nhất bằng \(\frac{4ac-b^2}{4a}\) tại \(x=-\frac{b}{2a}\)

b.Nếu a<0 thì f(x) có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{4ac-b^2}{4a}\) tại \(x=-\frac{b}{2a}\)

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Ta có : \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{bx}{a}\right)+c=a\left(x^2+2.x.\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a}+c\)

\(=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\ge-\frac{b^2-4ac}{4a}\)(vì a>0)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}\)

Do đó : Min f(x) = \(\frac{4ac-b^2}{4a}\Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}\)

b) \(f\left(x\right)=-ax^2+bx+c=-a\left(x^2-bx\right)+c=-a\left(x^2-2.x.\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a}+c=-a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\le\frac{4ac-b^2}{4a}\)(vì a<0)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{b}{2a}\)

Vậy Max f(x) = \(\frac{4ac-b^2}{4a}\Leftrightarrow x=\frac{b}{2a}\)