Question

[Ngo Thi Kim Truc]

Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định, MN là đường kính di động khác AB và không vuông góc với AB. Đường thẳng d là tiếp tuyến với (O) tại B, Các đường thẳng AM, AN cắt d lần lượt tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD , Hlaf giao điểm của AI và MN. Khi MN thay đổi.

a)Chứng minh rằng  tích AC.AM không đổi.

b) CMND nội tiếp.

c) Điểm H luôn thuộc 1 đường tròn cố định.

Answer 1

[Seu Vuon]

a) góc MAN nội tiếp chắn nửa (O) => góc MAN = 90⁰ hay góc CAD = 90⁰

tam giác CAD vuông tại A có đường cao AB => AM.AC = AB² = 4R² không đổi

b) Tam giác OAN có OA = ON = R nên cân tại O => góc OAN = góc ONA hay góc BAD = góc MNA

mà góc BAD = góc ACD (cùng phụ góc BAC) => góc MNA = góc ACD => tứ giác CMND nội tiếp

c) tam giác ACD vuông tại A có AI là trung tuyến => IA = ID = 1/2 CD => tam giác IAD cân tại I => góc IAD = góc IDA

mà góc IDA = góc AMN( tứ giác CMND nội tiếp) => góc IAD = góc AMN mà góc AMD phụ góc MNA => góc IAD phụ góc MNA 

=> góc AHN = 90⁰ hay góc AHO = 90⁰ , mà OA = R không đổi => H nằm trên đường tròn đường kính AO

Answer 2

[Lê Anh Tú]

a﴿ góc MAN nội tiếp chắn nửa ﴾O﴿ => góc MAN = 90o hay góc CAD = 90o

tam giác CAD vuông tại A có đường cao AB => AM.AC = AB 2 = 4R 2 không đổi

b﴿ Tam giác OAN có OA = ON = R nên cân tại O => góc OAN = góc ONA hay góc BAD = góc MNA

mà góc BAD = góc ACD ﴾cùng phụ góc BAC﴿ => góc MNA = góc ACD => tứ giác CMND nội tiếp

c﴿ tam giác ACD vuông tại A có AI là trung tuyến => IA = ID = 1/2 CD => tam giác IAD cân tại I => góc IAD = góc IDA

mà góc IDA = góc AMN﴾ tứ giác CMND nội tiếp﴿

=> góc IAD = góc AMN mà góc AMD phụ góc MNA => góc IAD phụ góc MNA

=> góc AHN = 90 0 hay góc AHO = 90 0 , mà OA = R không đổi => H nằm trên đường tròn đường kính AO