chung to a+b/c+b+c/a+a+c/b>hoac=6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 7 2018
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương \(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\)ta có
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}\)\(=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
TT
1
9 tháng 10 2018
mk chỉnh lại đề nhé:
cho \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
CMR: \(a=b=c\)hoặc \(a+b+c=0\)
BÀI LÀM
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
<=> \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
<=> \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)
Xét: \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
<=> \(2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
<=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)
<=> \(a=b=c\)
=> đpcm
HB
0
HB
1
29 tháng 12 2015
Ta có
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
\(\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Áp dụng cô si cho từng cặp
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2;\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)
=>....
Dấu = xảy ra <=>a=b=c
DK
1
Nếu hiểu như bạn viết mà ko có dấu ngoặc trên tử (a+b); (b+c); (c+a) thì bdt ban đầu sai (ví dụ a=1;b=c=1/2: VT= 1+1+1/2+1/2+1/2+2 = 11/2 <6 ==> sai)
Có lẽ ý bạn này là chứng minh:
(a+b)/c + (b+c)/a + (c+a)/b >=6 với mọi a,b,c >0;
Nếu vậy, viết lại bdt dưới dạng:
a/c + b/c + b/a +c/a + c/b+ a/b >=6 (1); Ta sẽ chứng minh (1) đúng
Thật vậy, áp dụng Cauchy cho bộ 2 số a/c và c/a ta có:
a/c+ c/a >=2 (*)
tương tự :
b/c +c/b >= 2 (**)
c/a + a/c >=2 (***)
Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên thu được
/c + b/c + b/a +c/a + c/b+ a/b >=6 - ĐPCM
dấu "=" <==> a=b=c;
Đặt \(A=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\)
\(\Rightarrow A=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\right)\)
\(\Rightarrow A=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge2+2+2=6\)(đpcm)