Question

[songoku]

chung to a+b/c+b+c/a+a+c/b>hoac=6

Answer 1

[thientytfboys]

Nếu hiểu như bạn viết mà ko có dấu ngoặc trên tử (a+b); (b+c); (c+a) thì bdt ban đầu sai (ví dụ a=1;b=c=1/2: VT= 1+1+1/2+1/2+1/2+2 = 11/2 <6 ==> sai) 

Có lẽ ý bạn này là chứng minh: 
(a+b)/c + (b+c)/a + (c+a)/b >=6 với mọi a,b,c >0; 

Nếu vậy, viết lại bdt dưới dạng: 
a/c + b/c + b/a +c/a + c/b+ a/b >=6 (1); Ta sẽ chứng minh (1) đúng 
Thật vậy, áp dụng Cauchy cho bộ 2 số a/c và c/a ta có: 
a/c+ c/a >=2 (*) 
tương tự : 
b/c +c/b >= 2 (**) 
c/a + a/c >=2 (***) 
Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên thu được 
/c + b/c + b/a +c/a + c/b+ a/b >=6 - ĐPCM 
dấu "=" <==> a=b=c;

Answer 2

[Hoàng Phúc]

Đặt \(A=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

\(\Rightarrow A\ge2+2+2=6\)(đpcm)