Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
a+b+c+d=0
=>a+b=-(c+d)
=> (a+b)^3=-(c+d)^3
=> a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3-d^3-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab(a+b)-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3=3ab(c+d)-3cd(c+d) ( vi a+b = - (c+d))
==> a^3 +b^^3+c^3+d^3==3(c+d)(ab-cd) (đpcm)
•๖ۣۜAƙαĭ ๖ۣۜHαɾυмα•™ [ RBL ] ❧PEWDS☙ chỉ biết đi copy thôi à ?
a) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
b) \(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=\left(-c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\cdot\left(-c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)( đpcm )
ta xét vế trái a^3+b^3+c^3=
[(a+b)(a^2-ab+b^2)]+c^3.(1)
Mà theo giả thuyết a+b+c=0 suy ra c= - (a+b)suy ra
c^3= -(a+b)^3
Thay vào`(1) ta co [(a+b)(a^2-ab+b^2)] - (a+b)^3
(nhân tử chúng ta có)=(a+b)[a^2-ab+b^2-(a+b)^2]
(phan h (a+b)^2) =(a+b)[a^2-ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2-a^2-2ab-b^2)
=(a+b).(-3ab)
= -(a+b).3ab (2)
theo giả thuyết ta có: a+b+c=0 suy ra c= -(a+b)
thay vào (2) ta dc
=3abc
ta kết luận :vế trái= vế phải
chúc bn hc tốt
** Bạn lưu ý lần sau viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ bên trái màn hình) để đề trông rõ ràng hơn $\Rightarrow$ khả năng được giải đáp cao hơn.
Sửa đề: CMR $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}\geq 2$
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}=\frac{a^4+b^4}{ab}$
$\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2ab}\geq \frac{2ab(a^2+b^2)}{2ab}=a^2+b^2(1)$
Mà:
$a^2+1\geq 2a$
$b^2+1\geq 2b$
$a^2+b^2\geq 2ab$
$\Rightarrow 2(a^2+b^2)+2\geq 2(a+b+ab)=6$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq 2(2)$
Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.
Cách khác:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{a^3}{b}+b+1\geq 3a$
$\frac{b^3}{a}+a+1\geq 3b$
$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}+ab\geq 3ab$
Cộng theo vế:
$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}+(a+b+ab)+2\geq 3(a+b+ab)$
$\Leftrightarrow 2(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a})+3+2\geq 9$
$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}\geq 2$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$