tìm a,b,c nguyen dương thỏa mãn:
a3+3a2+5=5b và a+3=5c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 4 2021
Lời giải:
Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.
Áp dụng vào bài:
$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$
$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$
Tương tự:
$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$
Cộng theo vế:
$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
6 tháng 8 2020
Ta đi chứng minh: \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^3}\le2b-a\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)
Một cách tương tự:\(\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^3}\le2c-b;\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le2a-c\)
Cộng lại thì:
\(LHS\le a+b+c=3\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
DH
4 tháng 1 2020
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz, ta được:
\(\sqrt{4a+5b}+\sqrt{4b+5c}+\sqrt{4c+5a}\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4a+5b+4b+5c+4c+5a\right)}\)
\(=\sqrt{3\left(9a+9b+9c\right)}=\sqrt{3.9\left(a+b+c\right)}=\sqrt{3.9.3}=9\)
\(\RightarrowĐpcm\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 11 2019
Lời giải:
Do $a+b+c=5$ nên:
$Q=\frac{a}{ab+c(a+b+c)}+\frac{b}{bc+a(a+b+c)}+\frac{c}{ca+b(a+b+c)}=\frac{a}{(c+b)(c+a)}+\frac{b}{(a+b)(a+c)}+\frac{c}{(b+c)(b+a)}$
$=\frac{a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Theo BĐT AM-GM:
$(a+b)(b+c)(c+a)\leq \left(\frac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3=\left(\frac{2(a+b+c)}{3}\right)^3=\frac{1000}{27}$
Và:
$a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)=(a+b+c)^2-(ab+bc+ac)\geq (a+b+c)^2-\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{50}{3}$
Do đó:
$Q\geq \frac{\frac{50}{3}}{\frac{1000}{27}}=\frac{9}{20}$
Vậy $Q_{\min}=\frac{9}{20}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{5}{3}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 11 2019
Lời giải:
Do $a+b+c=5$ nên:
$Q=\frac{a}{ab+c(a+b+c)}+\frac{b}{bc+a(a+b+c)}+\frac{c}{ca+b(a+b+c)}=\frac{a}{(c+b)(c+a)}+\frac{b}{(a+b)(a+c)}+\frac{c}{(b+c)(b+a)}$
$=\frac{a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Theo BĐT AM-GM:
$(a+b)(b+c)(c+a)\leq \left(\frac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3=\left(\frac{2(a+b+c)}{3}\right)^3=\frac{1000}{27}$
Và:
$a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)=(a+b+c)^2-(ab+bc+ac)\geq (a+b+c)^2-\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{50}{3}$
Do đó:
$Q\geq \frac{\frac{50}{3}}{\frac{1000}{27}}=\frac{9}{20}$
Vậy $Q_{\min}=\frac{9}{20}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{5}{3}$
TN
6 tháng 11 2016
\(P=\left(5a+\frac{2}{b+c}\right)^2+\left(5b+\frac{2}{c+a}\right)^2+\left(5c+\frac{2}{a+b}\right)^2\)
\(=4\text{∑}\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+20\text{ }\text{∑}\left(\frac{a}{b+c}\right)+75\)
\(\ge2\text{∑}\frac{1}{a^2+b^2}+20\cdot\frac{3}{2}+75\)
\(\ge2\cdot\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+105=108\)
Dấu = khi a=b=c=1
