a,Cho a2 b2 (a b)2=c2 d2 (c d)2. CM: a4 b4 (a b)4=c4 d4 (c d)4b, Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: (x-y)2 (y-z)2 (z-x)2 = (x y-2z)2 (y z-2x)2 (x z-2y)2. CM: x=y=zc, Cho x, y là các số thỏa mã...

NQ

Nguyễn Quỳnh Mai

25 tháng 3 2016

a,Cho a2+b2+(a+b)2=c2+d2+(c+d)2. CM: a4+b4+(a+b)4=c4+d4+(c+d)4b, Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = (x+y-2z)2 + (y+z-2x)2 + (x+z-2y)2. CM: x=y=zc, Cho x, y là các số thỏa mãn: 2x2 +y3 - 4x + 3 = 0 và x2y2 + y2 - 2x=0. Tính giá trị biểu thức A= x100y1001 + x700y2d, Cho x, y, z thỏa mãn (x+y+z)3 - x3 -y3 -z3 = 0. Tính giá trị biểu thức: P = (x2015 + y2015 )(y2017+...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

0

N

๖ۣۜN̸͟͞G̸̸͟͟͞͞ọC̸̸͟͟͞͞❄V̸͟͞Y̸̸͟͟͞͞☆

18 tháng 10 2021

a)Tìm x,y,z biết :

$\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=6\\x^3+y^3+z^3=6\end{matrix}\right.$

b)Tìm các số nguyên x,y t/m:

2x²+$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4$ sao cho tích x.y có GTLN

c)Cho a+b+c=0 và a²+b²+c²=14. Tính GT của bt M=a⁴+b⁴+c⁴

#Toán lớp 8

0

HN

Hoàng nhật Giang

16 tháng 8 2017

1, Phân tích thành nhân tử: 8(x + y + z)^2 - (x + y)^3 - (y + z)^3 - (z + x)^32, a, Phân tích thành nhân tử: 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2z^2x^2 - x^4 - y^4 - z^4b, Chứng minh rằng nếu x, y, x là ba cạnh của 1 tam giác thì A > 03, Cho x, y, x là độ dài 3 cạnh của một tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu x, y, z thỏa mãn các đẳng thức sau thì tam giác ABC là tam giác đều:a, (x + y+ z)^2 = 3(xy + yz + zx)b, (x + y)(y + z)(z + x) = 8xyzc, (x - y)^2 +...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

4

TD

Thợ Đào Mỏ Padda

16 tháng 8 2017

SORY I'M I GRADE 6

Đúng(1)

LH

Lý hải Dương

3 tháng 5 2018

????????

Đúng(1)

BC

Big City Boy

7 tháng 3 2021

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: 1/x+1/y+1/z=4. CM: 1/2x^2+y^2+z^2+1/x^2+2y^2+z^2+1/x^2+y^2+2z^2 bé hơn hoặc bằng 1

#Toán lớp 8

2

AH

Akai Haruma

Giáo viên

7 tháng 3 2021

** Bạn lưu ý lần sau viết đề bằng công thức toán!

Đề cần sửa thành $\leq \frac{4}{3}$

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz:

$\frac{1}{2x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{(x^2+z^2)+(x^2+y^2)}\leq \frac{1}{2xy+2xz}=\frac{1}{2}.\frac{1}{xy+xz}\leq \frac{1}{8}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\right)$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:

$\sum \frac{1}{2x^2+y^2+z^2}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)=\frac{x+y+z}{4xyz}$ $(1)$

Mặt khác:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\Rightarrow 4xyz=xy+yz+xz$

$\Rightarrow 16x^2y^2z^2=(xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)$ (theo BĐT AM-GM)

$\Rightarrow x+y+z\leq \frac{16}{3}xyz (2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \sum \frac{1}{2x^2+y^2+z^2}\leq \frac{4}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{3}{4}$

Đúng(4)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

7 tháng 3 2021

$\dfrac{1}{2x^2+y^2+z^2}=\dfrac{1}{x^2+y^2+x^2+z^2}\le\dfrac{1}{2xy+2xz}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\right)$

Tương tự: $\dfrac{1}{x^2+2y^2+z^2}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}\right)$ ; $\dfrac{1}{x^2+y^2+2z^2}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}\right)$

Cộng vế:

$VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2=\dfrac{4}{3}$

Đề bài sai

Đúng(3)

NT

Nghiêm Thảo Tâm

23 tháng 12 2015

Cho a,b,c là các số thực # 0. Tìm x,y,z là số thực # 0 thỏa mãn x*y/a*y+b*x=y*z/b*z+c*y=z*x/c*x+a*z=(x^2+y^2+z^2)/(a^2+b^2+c^2)

#Toán lớp 7

0

NT

Nghiêm Thảo Tâm

22 tháng 12 2015

cho a,b,c là các số thực # 0. Tìm các số thực x,y,z #0 thỏa mãn: x*y/a*y+b*x=y*z/b*z+c*y=z*x/c*x+a*z=(x^2+y^2+z^2)/(a^2+b^2+c^2)

#Toán lớp 7

0

NV

Nguyễn Vân Anh

17 tháng 3 2023

Cho a,b,c,x,y,z thỏa mãn a+b+c=a²+b²+c²=1 và x/a=y/b=z/c.Chứng minh rằng:x²+y²+z²=(x+y+z)²

#Toán lớp 7

2

NT

Nguyễn Thị Thương Hoài

Giáo viên VIP

17 tháng 3 2023

$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}$ ⇒ $\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x^2}{a^2}$ = $\dfrac{y^2}{b^2}$ = $\dfrac{z^2}{c^2}$ = $\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}$ = $\dfrac{x^2+y^2+z^2}{1}$ = $x^2+y^2+z^2$ (1)

$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}$ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}$ = $\dfrac{x+y+z}{1}$ = $x+y+z$

$\dfrac{x}{a}$ = $x+y+z$ ⇒ $\dfrac{x^2}{a^2}$ = ($x+y+z$)² (2)

Từ (1) và (2) ta có :

$\dfrac{x^2}{a^2}$ = $x^2$ + y² + z² = ( $x+y+z$)² (đpcm)

Đúng(1)

HN

Huỳnh Nguyên Như

17 tháng 3 2023

$a x = b y = c z$ ⇒ $a ^{2} x ^{2} = b ^{2} y ^{2} = c ^{2} z ^{2}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$a ^{2} x ^{2}$ = $b ^{2} y ^{2}$ = $c ^{2} z ^{2}$ = $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}$ = $1 x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}$ = $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ (1)

$a x = b y = c z$ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$a x = b y = c z = a + b + c x + y + z$ = $1 x + y + z$ = $x + y + z$

$a x$ = $x + y + z$ ⇒ $a ^{2} x ^{2}$ = ( $x + y + z$ )2 (2)

Từ (1) và (2) ta có :

$a ^{2} x ^{2}$ = $x^{2}$ + y2 + z2 = ( $x + y + z$ )2 (đpCm)

Đúng(0)

B

bongmin

5 tháng 11 2021

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z =1
tìm GTLN của biểu thức:
P = $\sqrt{2x^2+x+1}+\sqrt{2y^2+y+1}+\sqrt{2z^2+z+1}$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

5 tháng 11 2021

$\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow0\le x;y;z\le1$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x+1\le x^2+2x+1\\2y^2+y+1\le y^2+2y+1\\2z^2+z+1\le z^2+2z+1\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P\le\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}=x+y+z+3=4$

$P_{max}=4$ khi $\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)$ và các hoán vị

Đúng(1)

V

Vinne

4 tháng 9 2021

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2+z^2=1$.CM $\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}\ge\dfrac{1}{3}$

mong mọi nguòi giúp thank you

#Toán lớp 10

1

EC

Edogawa Conan

4 tháng 9 2021

Ta có: $\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}=\dfrac{x^4}{xy+2zx}+\dfrac{y^4}{yz+2xy}+\dfrac{z^4}{zx+2yz}$

$\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+2zx+yz+2xy+zx+2yz}=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}$

Mà ta lại có: $xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1^2}{3.1}=\dfrac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Đúng(1)

NM

NGUYỄN MINH HUY

7 tháng 3 2021

cho các số thực x,y,z thỏa mãn $x^4+y^4+z^4+2x^2y^2z^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+y^2+z^2-\sqrt{2}|xyz|$

#Toán lớp 11

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

8 tháng 3 2021

Ta sẽ chứng minh $P_{min}=1$

TH1: $xyz=0$

$\Rightarrow x^2y^2z^2=0\Rightarrow x^4+y^4+z^4=1$

$P=x^2+y^2+z^2\ge\sqrt{x^4+y^4+z^4}=1$

TH2: $xyz\ne0$ , từ điều kiện, tồn tại 1 tam giác nhọn ABC sao cho $\left\{{}\begin{matrix}x^2=cosA\\y^2=cosB\\z^2=cosC\end{matrix}\right.$

$P=cosA+cosB+cosC-\sqrt{2cosA.cosB.cosC}$

Ta sẽ chứng minh $cosA+cosB+cosC-\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\ge1$

$\Leftrightarrow4sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}\ge\sqrt{2cosA.cosB.cosC}$

$\Leftrightarrow8sin^2\dfrac{A}{2}sin^2\dfrac{B}{2}sin^2\dfrac{C}{2}\ge cosA.cosB.cosC$

$\Leftrightarrow\dfrac{8sin^2\dfrac{A}{2}sin^2\dfrac{B}{2}sin^2\dfrac{C}{2}}{8sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}}\ge cotA.cotB.cotC$

$\Leftrightarrow tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}\ge cotA.cotB.cotC$

$\Leftrightarrow tanA.tanB.tanC\ge cot\dfrac{A}{2}cot\dfrac{B}{2}cot\dfrac{C}{2}$

$\Leftrightarrow tanA+tanB+tanC\ge cot\dfrac{A}{2}+cot\dfrac{B}{2}+cot\dfrac{C}{2}$

Ta có:

$tanA+tanB=\dfrac{sin\left(A+B\right)}{cosA.cosB}=\dfrac{2sinC}{cos\left(A-B\right)-cosC}\ge\dfrac{2sinC}{1-cosC}=\dfrac{2sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{C}{2}}{2sin^2\dfrac{C}{2}}=cot\dfrac{C}{2}$

Tương tự: $tanA+tanC\ge cot\dfrac{B}{2}$ ; $tanB+tanC\ge cot\dfrac{A}{2}$

Cộng vế với vế ta có đpcm

Vậy $P_{min}=1$ khi $\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(1;0;0\right)$ và các hoán vị hoặc $\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$

Đúng(1)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP