K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 12 2021

\(S=\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{1}{a^2}+\frac{3a}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{8a^2}}+\frac{3\cdot2}{4}=\frac{3}{4}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}.\)

Dấu '' = '' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{8}\\a=2\end{cases}}=\frac{1}{a^2}\)

HT

27 tháng 12 2021

\(S=a+\frac{1}{a^2}=\frac{3a}{4}+\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{1}{a^2}.\)

Theo bất đẳng thức Cô - si cho 3 số \(\frac{a}{8};\frac{a}{8};\frac{1}{a^2}>0\)ta có :

DD
9 tháng 3 2021

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(S=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge\frac{2ab}{ab}=2\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b\).

Vậy \(minS=2\).

9 tháng 3 2021

\(S=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}\)( Cauchy-Schwarz dạng Engel )

Lại có : \(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)( AM-GM )

\(\Rightarrow\frac{1}{2ab}\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}\ge2\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b

Vậy MinS = 2

NV
13 tháng 2 2020

\(S=\left(a-3\right)^2+\left(a+\frac{9}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)+2\left(2a+b\right)\)

\(S\ge2\sqrt{\frac{9a}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{b}}+2.7=22\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)

30 tháng 3 2023

dấu bằng sao lại xảy ra 2 vs 1 pk là 3 với 1 chứ bn . t cx ch thạo nếu t mà sai thì t xl

 

27 tháng 6 2016

Ta có:\(P=a+\frac{1}{a^2}\ge2+\frac{1}{2^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{4}\)

Vậy MinP=\(\frac{9}{4}\)

27 tháng 6 2016

Bảo Bình:dấu "=" xảy ra khi?

13 tháng 12 2017

\(áp\)\(dụng\)\(BĐT\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(ta\)\(có\)\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)

          \(=\frac{3a^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)

            \(\ge\frac{3a^2}{b^2+c^2}+2\ge3+2=5\)        

dấu = xảy ra khi \(a^2=2b^22c^2\)

13 tháng 12 2017

Những bài ntn chúng ta nên nhẩm ngiệm để cô si

ta có A=\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2}{4b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{4c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\)

Áp dụng bđt cô si cho cặp sô thứ 1, cho cặp số thứ 2

Ta có\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}=4\Rightarrow\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\ge3\)

+ hết vào ...=> A>=...

dấu = xáy ra <=> b=c=a=1/căn(2)

28 tháng 2 2020

1) Tìm GTNN : 

Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

28 tháng 2 2020

2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :

\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)

Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1 

\(P=a^2+\frac{1}{a}=\frac{a^2}{8}+\frac{1}{a}+\frac{7a^2}{8}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{8a}}+\frac{7a^2}{8}\ge2\sqrt{\frac{2^2}{8.2}}+\frac{7.2^2}{8}=\frac{9}{2}\)

Vậy GTNN của P là \(\frac{9}{2}\) khi \(a=2\)

13 tháng 9 2017

a)Từ \(a+b+c\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) *đúng*

Khi \(a=b=c\)

b)Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự rồi cộng theo vế :

\(M\ge3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Khi \(a=b=c=1\)

3 tháng 5 2019

Làm ơn giải giùm đi

3 tháng 5 2019

BĐT \(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\) không cần chứng minh phải không?Thế thì bài này khá đơn giản mà?

\(A=4\left(a^3+b^3\right)+\frac{1}{ab}=8\left(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{2}\right)+\frac{1}{ab}\)

\(\ge8\left(\frac{a+b}{2}\right)^3+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=1+4=5\)