V
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VM
3
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
9 tháng 3 2021
\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(S=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge\frac{2ab}{ab}=2\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b\).
Vậy \(minS=2\).
9 tháng 3 2021
\(S=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}\)( Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Lại có : \(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)( AM-GM )
\(\Rightarrow\frac{1}{2ab}\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
Vậy MinS = 2
TT
4
27 tháng 6 2016
Ta có:\(P=a+\frac{1}{a^2}\ge2+\frac{1}{2^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{4}\)
Vậy MinP=\(\frac{9}{4}\)
LT
13 tháng 12 2017
\(áp\)\(dụng\)\(BĐT\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(ta\)\(có\)\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)
\(=\frac{3a^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)
\(\ge\frac{3a^2}{b^2+c^2}+2\ge3+2=5\)
dấu = xảy ra khi \(a^2=2b^22c^2\)
VT
13 tháng 12 2017
Những bài ntn chúng ta nên nhẩm ngiệm để cô si
ta có A=\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2}{4b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{4c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\)
Áp dụng bđt cô si cho cặp sô thứ 1, cho cặp số thứ 2
Ta có\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}=4\Rightarrow\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\ge3\)
+ hết vào ...=> A>=...
dấu = xáy ra <=> b=c=a=1/căn(2)
TT
28 tháng 2 2020
1) Tìm GTNN :
Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
28 tháng 2 2020
2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)
Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
T
3 tháng 5 2019
BĐT \(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\) không cần chứng minh phải không?Thế thì bài này khá đơn giản mà?
\(A=4\left(a^3+b^3\right)+\frac{1}{ab}=8\left(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{2}\right)+\frac{1}{ab}\)
\(\ge8\left(\frac{a+b}{2}\right)^3+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=1+4=5\)
1 tháng 6 2020
BĐT Bunhiacopxky em chưa học cô ạ
Cô cong cách nào không ạ
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2020
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh:
Vậy thì bạn có thể chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ thông qua BĐT Cô-si:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$
Nhân theo vế:
$(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz$
$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \frac{9}{x+y+z}$
hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$
NT
1
ML
4 tháng 7 2015
\(S=\frac{1}{a^2}+a=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{a}{8}+\frac{a}{8}\right)+\frac{3a}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2}.\frac{a}{8}.\frac{a}{8}}+\frac{3.2}{4}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{a^2}=\frac{a}{8}\text{ và }a=2\Leftrightarrow a=2\)
Vậy GTNN của S là 9/4 khi a = 2
26 tháng 12 2016
a) giả sử \(x\ge y\ge3\)
P(x)=x+1/x
P(y)=y+1/y
P(x)-p(y)=(x+1/x)-(y+1/y)=(x-y)+(1/x-1/y)=A
\(x\ge y\ge3\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\hept{\begin{cases}x-y\le0\\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\le0\end{cases}\Rightarrow A\le0}\)
Kết luận a cành lớn thì P(a) càng lớn
=> Pmin=P(3)=3+1/3=10/3
26 tháng 12 2016
Ok ta cần chứng minh A>=0
\(A=\left(x-y\right)+\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=\left(x-y\right)+\frac{\left(y-x\right)}{xy}=\left(x-y\right)-\frac{\left(x-y\right)}{xy}\\ \)
\(A=\left(x-y\right)\left[1-\frac{1}{xy}\right]\)
\(x\ge y\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y\ge0\\xy\ge9\\\frac{1}{xy}\le\frac{1}{9}< 1\Rightarrow1-\frac{1}{xy}>0\end{cases}}\Rightarrow A\ge0\)
\(S=\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{1}{a^2}+\frac{3a}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{8a^2}}+\frac{3\cdot2}{4}=\frac{3}{4}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}.\)
Dấu '' = '' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{8}\\a=2\end{cases}}=\frac{1}{a^2}\)
HT
\(S=a+\frac{1}{a^2}=\frac{3a}{4}+\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{1}{a^2}.\)
Theo bất đẳng thức Cô - si cho 3 số \(\frac{a}{8};\frac{a}{8};\frac{1}{a^2}>0\)ta có :