K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 4 2015

Câu a) 

Ta có a + b \(\ge\)1 => a \(\ge\) 1 - b

Nên a2 + b2 \(\ge\) (1 - b)2 + b2 = 2b2 - 2b + 1 = 2(b2 - 2b.1/2 + 1/4 + 1/2) = 2(b - 1/2)2 + 1 \(\ge\) 1

Câu b) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

(x + y)2 = (1.x + 1.y)2 \(\le\) (12 + 12)(x2 + y2) = 2.1 = 2

Dấu "=" xảy ra <=> x = y

4 tháng 4 2015

câu1 : cần sửa lại là A + B2 \(\ge\frac{1}{2}\)

Ta chứng minh được : (A+B)2 \(\le2.\left(A^2+B^2\right)\) (*)

<=> A + B + 2A.B \(\le\) 2. (A + B2)

<=> 0 \(\le\) A + B - 2.A.B <=> 0 \(\le\) (A-B)2 luôn đúng => (*) đúng

b) Áp sung câu a => (x+y)2 \(\le\)2.(x2 + y2) = 2 => đpcm

28 tháng 3 2021

xí câu 1:))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)

Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )

Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2

15 tháng 7 2019

1) Đề sai, thử với x = -2 là thấy không thỏa mãn.

Giả sử cho rằng với đề là x không âm thì áp dụng BĐT Cauchy:

\(A=\)\(\frac{2x}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}=\frac{x-3}{3}+\frac{x-3}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}+2\)

\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(x-3\right).\left(x-3\right).9}{3.3.\left(x-3\right)^2}}+2=3+2=5>1\)

Không thể xảy ra dấu đẳng thức.

25 tháng 3 2019

\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

Áp dụng BĐT cô si ,ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x\cdot y}{y\cdot x}}=2\)

Vậy ta được đpcm

ta có:

\(a+\frac{1}{a}-2=\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2-2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=\left(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{a}\ge2\)

Vì a và 1/a cùng dấu nên 2 căn (a*1/a) lớn hơn 0 nha 

NV
20 tháng 3 2022

\(ab+1\le b\Rightarrow a+\dfrac{1}{b}\le1\)

Đặt \(\left(a;\dfrac{1}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow x+y\le1\)

Gọi vế trái của BĐT cần chứng minh là P:

\(P=x+\dfrac{1}{x^2}+y+\dfrac{1}{y^2}=\left(\dfrac{1}{x^2}+8x+8x\right)+\left(\dfrac{1}{y^2}+8y+8y\right)-15\left(x+y\right)\)

\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{64x^2}{x^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{64y^2}{y^2}}-15.1=9\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) hay \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)

12 tháng 9 2019

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)  ( 1 )

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+xy^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)     ( 2 )

\(\Rightarrow\)Bất đẳng thức ( 2 ) \(\Rightarrow\) Bất đẳng thức ( 1 ) 

( Dấu " = " xảy ra khi x = y ) 

Chúc bạn học tốt !!!

10 tháng 1 2017

a/ a2 + b2 + c2 \(\ge\)ab + bc + ca

<=> 2(a2 + b2 + c2) \(\ge\)2(ab + bc + ca)

<=> (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2 \(\ge0\)

<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 \(\ge0\) (đúng)

=> ĐPCM

b/ a2 + b2 + c2 \(\ge\) 2ab - 2ac + 2bc

<=> a2 + b2 + c+ 2( - ab + ac - bc)\(\ge\) 0

<=> (a - b + c)2 \(\ge0\)(đúng)

=> ĐPCM