cho x,y>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của\(P=\frac{x+3y}{\sqrt{xy}+y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DH
2
T
17 tháng 9 2019
\(M=\frac{x^2+9y^2}{xy}-\frac{8y^2}{xy}\)
\(\ge\frac{2\sqrt{9x^2y^2}}{xy}-\frac{8.y.y}{xy}\)
\(\ge6-\frac{8.\frac{x}{3}.y}{xy}=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = 3y.
Vậy..
17 tháng 9 2019
\(x\ge3y\Leftrightarrow\frac{x}{y}\ge3\)
\(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
\(\text{Đặt}\frac{x}{y}=a\Rightarrow a\ge3,M=a+\frac{1}{a}\)
Dùng điểm rơi a=3
\(M=\frac{8}{9}a+\frac{1}{9}a+\frac{1}{a}\ge\frac{8}{9}a+\frac{2}{3}\ge\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)
BD
0
NK
0
CV
21 tháng 3 2019
đặt 2x+3=a
\(y\sqrt{y}+y=a\sqrt{a}+a\)
=>\(\left(\sqrt{y}-\sqrt{a}\right)\left(y+\sqrt{ay}+a+\sqrt{a}+\sqrt{y}\right)=0\)
=>\(\sqrt{y}=\sqrt{a}\Rightarrow y=2x+3\)
thay vào Q tìm min là xong
8 tháng 9 2019
Bằng bước biến đổi \(P=\frac{\left(x+y\right)^2+xy}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}\)ta có cách giải sau
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM,ta có: \(P=\frac{\left(x+y\right)^2+xy}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}\ge\frac{2\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}=2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 đạt được khi \(\left(x+y\right)^2=xy\Leftrightarrow x^2+xy+y^2=0\)
Cơ mà nếu vậy thì P không có giá trị nhỏ nhất à, hay là em làm sai
T
9 tháng 9 2019
Đổi tên biểu thức thành M cho nó đỡ nhầm lẫn với cách phần đặt biến phụ nha!
Biểu thức đối xứng 2 biến x, y là em nghĩ đến cách đặt \(S=x+y;P=xy\Rightarrow S^2\ge4P\).(đẳng thức xảy ra khi x = y)
Có: \(M=\frac{S^2+P}{S\sqrt{P}}=\frac{S}{\sqrt{P}}+\frac{\sqrt{P}}{S}\). Đặt \(t=\frac{S}{\sqrt{P}}=\sqrt{\frac{S^2}{P}}\ge\sqrt{\frac{4P}{P}}=2\). Quy về tìm min biểu thức:
\(M=t+\frac{1}{t}\left(t\ge2\right)\). Đến đây có 2 cách:
+) Cách 1: \(t+\frac{1}{t}=\frac{t}{4}+\frac{1}{t}+\frac{3t}{4}\ge2\sqrt{\frac{t}{4}.\frac{1}{t}}+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi ... (anh tự giải nhá:3)
+) Cách 2: \(t+\frac{1}{t}=t+\frac{4}{t}-\frac{3}{t}\ge2\sqrt{t.\frac{4}{t}}-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Vậy...
8 tháng 6 2020
\(\left(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=3\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có
\(P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1 => x=y=z=1
4 tháng 6 2019
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz Engel, ta được:
T\(\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)+x+y+z+\(\sqrt{xy}\)+\(\sqrt{yz}\)+\(\sqrt{zx}\)-(x+y+z+\(\sqrt{xy}\)+\(\sqrt{yz}\)+\(\sqrt{zx}\))
Áp dụng BĐT AM-GM , ta được:
T\(\ge\)2(x+y+z)-x-y-z-\(\frac{x+y+z}{2}\)=\(\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\)\(\frac{2019}{2}\)
Vậy: GTNN của A=\(\frac{2019}{2}\)khi x=y=z=673
CV
4 tháng 6 2019
\(T>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\)(bunhiacopxki dạng phân thức)
=>\(T>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}}\)
=>\(T>=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{4\left(x+yz\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2019}{2}\)
xảy ra dấu= khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{2019}{3}\)
T
29 tháng 9 2019
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương x và y, ta có: \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+y\le\frac{x+y}{2}+y=\frac{x+y+2y}{2}=\frac{x+3y}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+3y}{\sqrt{xy}+y}\ge\frac{x+3y}{\frac{x+3y}{2}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
Vậy GTNN của P là 2 khi \(x=y\)