Question

[Hoàng Việt Hà]

Tìm các số nguyên tố x ,y ,z thỏa mãn $(x+y)^2 - x^5 = y^3 - z^3$

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Giả sử $x,y,z$ đều lẻ hoặc đều chẵn. Khi đó $(x+y)^2-x^5$ lẻ, còn $y^3-z^3$ chẵn (vô lý)

Do đó trong $x,y,z$ sẽ tồn tại 1 số chẵn hoặc 2 số chẵn.

TH1: $x,y,z$ tồn tại 2 số chẵn, 1 số lẻ.

- Nếu $x,y$ chẵn, $z$ lẻ thì $x=y=2$. Thay vào đề:

$4-32=8-z^3\Rightarrow z^3=36$ (loại)

- Nếu $x,z$ chẵn, $y$ lẻ thì $x=z=2$. Thay vô:

$(2+y)^2-32=y^3-8$

$\Leftrightarrow y^3-y^2-4y+20=0$

$\Leftrightarrow (y-2)(y-1)(y+2)=-16<0$ (vô lý do $y\geq 3$)

- Nếu $y,z$ chẵn, $x$ lẻ thì $y=z=2$. Thay vô có:

$(x+2)^2-x^5=0$

$\Rightarrow x^5=(x+2)^2$ nên $x$ là scp (vô lý)

TH2: $x,y,z$ tồn tại $1$ số chẵn, 2 số lẻ. 

- Nếu $x$ chẵn, $x=2$ thì thay vô có:

$(y+2)^2=32-y^3+z^3$. $y,z$ lẻ nên $(y+2)^2$ lẻ, $32-y^3+z^3$ chẵn (vô lý- loại)

- Nếu $y$ chẵn, $y=2$ thì thay vô có:

$(x+2)^2-x^5=8-z^3$. $x,z$ lẻ nên $(x+2)^2-x^5$ chẵn, còn $8-z^3$ lẻ (vô lý-loại)

- Nếu $z$ chẵn, $z=2$ thì thay vô có:

$(x+y)^2-x^5=y^3-8$

$\Leftrightarrow (x+y)^2=x^5+y^3-8$

Mà $x^5+y^3-8\geq 9x^2+3y^2-8$

$\Rightarrow 2xy\geq 8x^2+2y^2-8$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+7x^2+y^2\leq 8$ (vô lý vì $x,y\geq 3$)

Vậy không tồn tại $x,y,z$ thỏa mãn.