Cho ti lệ thức :a / b = c/ đ. Chứng minh rằng : a+c/a-c= b+d/b-d.(gia sử các ti lệ thức đều có nghĩa.)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\) =>\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)\(=\frac{a+b+a-b}{c+d+c-d}=\frac{2a}{2c}=\frac{a}{c}\)(1)
CMTT ta có: \(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b-\left(a-b\right)}{c+d-\left(c-d\right)}\)\(=\frac{a+b-a+b}{c+d-c+d}=\frac{2b}{2d}=\frac{b}{d}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\left(=\frac{a+b}{c+d}\right)\)=>\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)(ĐPCM)
ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\approx\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\approx\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\approx\frac{a-b}{a+d}=\frac{c-d}{c+d}\)
Vậy.........................................
a) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(c-d\right)=\left(c+d\right)\left(a-b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)(đpcm)
b) Áp dụng kết quả phần a) và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}=\frac{a+b+c+d}{a-b+c-d}=\frac{a+b-c-d}{a-b-c+d}\)(chỗ này mình phá ngoặc luôn nhé)
\(\Rightarrow\left(a+b+c+d\right)\left(a-b-c+d\right)=\left(a-b+c-d\right)\left(a+b-c-d\right)\)(đpcm)
*a/b=c/d=k=>a=bk;c=dk
Thay a=bk vào 2a+3b/2a-3b=2bk+3b/2bk-3b=2k+3/2k-3
Tương tự thay c=dk vào 2c+3d/2c-3d=2dk+3d/2dk-3d=2k+3/2k-3
=>2a+3b/2a-3b=2c+3d/2c-3d
*a/b=c/d=>a/c=b/d=k
=>k^2=a^2/c^2=c^2/d^2=a^2-b^2/c^2-d^2 (1)
k^2=a/c.b/d=ab/cd (2)
Từ (1) và (2)=>ab/cd=a^2-b^2/c^2-d^2
*a/b=c/d=>a/c=b/d=k=a+b/c+d
=>k^2=(a+b/c+d)^2
k^2=a^2/c^2=b^2/d^2=a^2+b^2/c^2+d^2
=>(a+b/c+d)^2=a^2+b^2/c^2+d^2
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\left(k\in R\right)\)thì a = bk ; c = dk .Ta có :
\(\frac{2a+3b}{2a-3b}=\frac{2bk+3b}{2bk-3b}=\frac{b\left(2k+3\right)}{b\left(2k-3\right)}=\frac{2k+3}{2k-3}\left(1\right)\)
\(\frac{2c+3d}{2c-3d}=\frac{2dk+3d}{2dk-3d}=\frac{d\left(2k+3\right)}{d\left(2k-3\right)}=\frac{2k+3}{2k-3}\left(2\right)\)
\(\frac{ab}{cd}=\frac{bk.b}{dk.d}=\frac{b^2}{d^2}\left(3\right)\); \(\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{b^2k^2-b^2}{d^2k^2-d^2}=\frac{b^2\left(k^2-1\right)}{d^2\left(k^2-1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\left(4\right)\)
\(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\frac{\left(bk+b\right)^2}{\left(dk+d\right)^2}=\frac{\left[b\left(k+1\right)\right]^2}{\left[d\left(k+1\right)\right]^2}=\frac{b^2\left(k+1\right)^2}{d^2\left(k+1\right)^2}=\frac{b^2}{d^2}\left(5\right)\)
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}=\frac{b^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\left(6\right)\)
Từ (1) và (2) , (3) và (4) , (5) và (6) , ta suy ra 3 tỉ lệ thức cần chứng minh từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
ta có:a/b=c/d
=>a/c=b/d
áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a/c=b/d=a+b/c+d=a-c/c-d
=>a+b/c+d=a-b/c-d
do đó: a+b/a-c=c+d/c-d
ta có;
a/b=c/d =>a/c=b/d
áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a/c=b/d =>a+b/c+d=a-b/c-d
=>a+b/c+d=a-b/c-d => a+b/a-b=c+d/c-d
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)
Do đó ta có:
\(\frac{a-b}{b}=\frac{bk-b}{b}=\frac{b\left(k-1\right)}{b}=k-1\left(1\right)\)
\(\frac{c-d}{d}=\frac{dk-d}{d}=\frac{d\left(k-1\right)}{d}=k-1\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có tỉ lệ thức a-b/b = c-d/d
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow\)a=bk , c=dk
Ta có:
\(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{\left(bk+b\right)^2}{\left(dk+d\right)^2}=\)\(\frac{\left(b\left(k+1\right)\right)^2}{\left(d\left(k+1\right)\right)^2}=\frac{b^2\times\left(k+1\right)^2}{d^2\times\left(k+1\right)^2}=\frac{b^2}{d^2}\)( 1 )
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+b^2}{\left(dk\right)^2+d^2}=\frac{b^2\times k^2+b^2}{d^2\times k^2+d^2}\)= \(\frac{b^2\times\left(k^2+1\right)}{d^2\times\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)(dpcm)
* Giả sử tất cả các tỷ lệ thức đều có nghĩa.
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}\times\frac{b}{d}=\frac{b}{d}\times\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{ab}{cd}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2}{c^2}=\frac{2ab}{2cd}\)
\(=\frac{a^2+2ab+b^2}{c^2+2cd+d^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)(ĐPCM)
a/b=c/d
Theo tc dãy tỉ số=nhau:
a/b=c/d=a+c/b+d=a-c/b-d
=>a+c/a-c=b+d/b-d ( hoán vị trung tỉ)
=>đpcm