1.Cho x,y,z khác 0 thõa mãn x+y+z=xyz và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}\)
Tính P= \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 9 2017
Bình phường hai vế lên ta có :
\(\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}^2=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|^2\)
Xét: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2.\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
mà \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{z+x+y}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\)
TM
25 tháng 12 2016
Xét: \(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{xyz}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}+\frac{z}{xyz}=1\Leftrightarrow\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=1\)
Mặt khác:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}\)<=>\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\left(\sqrt{3}\right)^2\)
<=>\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xz}=3\)
<=>\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)=3\)
<=>\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2.1=3\)
<=>\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2=3\)
<=>\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)
2 tháng 1 2016
\(x+y+z=xyz\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}=1\)
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=1,63205^2\Rightarrow C+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\right)=1.63205^2\)
\(\Rightarrow C+2=1.63205^2\Rightarrow C=1.63205^2-2\)
KN
31 tháng 12 2020
Ta có: \(x+y+z=xyz\Leftrightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Leftrightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Leftrightarrow x^2+1=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}\)\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Tương tự, ta được: \(\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}=\sqrt{\frac{zx}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}\); \(\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
Cộng theo từng vế ba đẳng thức trên, ta được: \(P=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)\(\le\frac{\frac{y}{x+y}+\frac{z}{z+x}+\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}+\frac{y}{y+z}}{2}=\frac{3}{2}\)(BĐT Cô-si)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = \(\sqrt{3}\)
10 tháng 6 2019
Từ giả thiết:\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)\(=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+x}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{y}+y}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z}+z}}\)\(=\sqrt{\frac{a}{a+\frac{1}{a}}}+\sqrt{\frac{b}{b+\frac{1}{b}}}+\sqrt{\frac{c}{c+\frac{1}{c}}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
Đến đây:\(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a}{a+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
Tương tự:\(\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)
Cộng 3 bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh :))
15 tháng 7 2017
từ \(x+y+z=xyz\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
\(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Thay vào \(\sqrt{x^2+1}\) r` phân tích nhân tử áp dụng C-S là ra :3
14 tháng 9 2018
Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}=\sqrt{\frac{zx}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(\Rightarrow VT=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Ta có: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\right)\)
\(\left(\sqrt{3}\right)^2=P+\frac{2\left(z+y+x\right)}{xyz}\)
Mà x+y+z=xyz
=> P+2=3=>P=1
Vậy P=1