cho so nguyen to p va cac so duong x,y thoa man 4x^2-3xy-y^2-p(3x+2y)=2p^2 CHUNG MINH RANG 5x-1 la so chinh phuong
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
0
1 tháng 3 2017
P(0) = a.02 + b.0 + c = m2 (m \(\in Z\))
=> P(0) = c = m2
P(1) = a.12 + b.1 + c = k2 (k \(\in Z\))
=> a + b = k2 - c = k2 - m2 là số nguyên (*)
P(2) = a.22 + b.2 + c = n2 (\(n\in Z\))
=> 4a + 2b + m2 = n2
=> 4a + 2b = n2 - m2 là số nguyên (1)
Từ (1) và (*) => 4a + 2b - 2.(a + b) nguyên
=> 2a nguyên => a nguyên
Kết hợp với (*) => b nguyên
Từ (1) => n2 - m2 chẵn (2)
=> (n - m)(n + m) chẵn
Mà n - m và n + m luôn cùng tính chẵn lẻ \(\forall m;n\in Z\)
Kết hợp với (2) \(\Rightarrow\left(n-m\right)\left(n+m\right)⋮4\)
hay n2 - m2 chia hết cho 4
Kết hợp với (1) => \(2b⋮4\)
=> b chia hết cho 2 => b chẵn
Ta có đpcm
Có: \(4x^2-3xy-y^2-p\left(3x+2y\right)=2p^2\Leftrightarrow\left(4x+y\right)\left(x-y\right)-p\left(3x+2y\right)=2p^2\)\(\Leftrightarrow\left[\left(3x+2y\right)+\left(x-y\right)\right]\left(x-y\right)-p\left(3x+2y\right)=2p^2\)\(\Leftrightarrow\left(3x+2y\right)\left(x-y\right)-p\left(3x+2y\right)+\left(x-y\right)^2-p^2=p^2\)\(\Leftrightarrow\left(3x+2y\right)\left(x-y-p\right)+\left(x-y-p\right)\left(x-y+p\right)=p^2\)\(\Leftrightarrow\left(x-y-p\right)\left(4x+y+p\right)=p^2=1.p^2\)
Do \(4x+y+p>x-y-p\)nên \(\hept{\begin{cases}x-y-p=1\left(1\right)\\4x+y+p=p^2\left(2\right)\end{cases}}\)(Do p là số nguyên tố)
Lấy (1) + (2), ta được: \(5x=p^2+1\Rightarrow5x-1=p^2\)(là số chính phương, đpcm)