Cho phương trình 2 cos 2 x cos 2 x − cos 2018 π 2 x = cos 4 x − 1 . Tính tổng tất cả các nghiệm thực dương của phương trình.
A. π
B. 1010 π
C. 1001 π
D. 1100 π
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 12 2020
\(cosx-\left(3sinx-4sin^3x\right)=\sqrt{2}\left(cosx-sinx\right)sin4x\)
\(\Leftrightarrow cosx-sinx+2sinx\left(2sin^2x-1\right)=\sqrt{2}\left(cosx-sinx\right)sin4x\)
\(\Leftrightarrow cosx-sinx-2sinx\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+sinx\right)=\sqrt{2}\left(cosx-sinx\right)sin4x\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-sinx\right)\left(1-2sinx\left(sinx+cosx\right)-\sqrt{2}sin4x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-sinx\right)\left(1-2sin^2x-2sinx.cosx-\sqrt{2}sin4x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-sinx\right)\left(cos2x-sin2x-\sqrt{2}sin4x=0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-sinx\right)\left[sin\left(\dfrac{\pi}{4}-2x\right)-sin4x\right]=0\)
\(\Leftrightarrow...\)
Đáp án B.
Điều kiện: x ≠ 0 .
Ta có 2 cos 2 x cos 2 x − cos 2018 π 2 x = cos 4 x − 1
⇔ 2 cos 2 2 x − 2 cos 2 x . cos 2018 π 2 x = cos 4 x − 1
⇔ cos 4 x + 1 − 2 cos 2 x . cos 2018 π 2 x = cos 4 x − 1
⇔ cos 2 x . cos 2018 π 2 x = 1
ta có cos 2 x . cos 2018 π 2 x ≤ 1
do đó cos 2 x . cos 2018 π 2 x = 1 ⇔ cos 2 x = 1 cos 2018 π 2 x = 1 hoặc cos 2 x = − 1 cos 2018 π 2 x = − 1
cos 2 x = 1 cos 2018 π 2 x = 1 ⇔ x = k π x = 1009 π l k , l ∈ ℤ
⇒ k l = 1009 ⇒ k = 1009 l = 1 hoặc k = − 1009 l = − 1 hoặc k = 1 l = 1009 hoặc k = − 1 l = − 1009
Trong trường hợp này tổng các nghiệm dương của phương trình bằng 1010 π
cos 2 x = − 1 cos 2018 π 2 x = − 1 ⇔ x = π 2 + k π x = 2018 π 1 + 2 l k , l ∈ ℤ
⇒ 1 2 + k = 2018 1 + 2 l ⇒ 1 + 2 k 1 + 2 l = 2.2018 (*)
Vế trái của (*) là số lẻ, vế phải của (*) là số chẵn. Do đó không có giá trị nguyên nào của k, l thỏa mãn (*).
* Tóm lại: Tổng các nghiệm dương của phương trình bằng 1010π.