Tìm ba số nguyên tố p^ q + q^p = r
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
0
3 tháng 3 2020
Bài 2 :
Tham khảo nha bạn !
Giả sử a≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bca≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bc. Theo giả thiết abc<ab+bc+caabc<ab+bc+ca (1) nên abc<3bc⇒a<3abc<3bc⇒a<3 mà a là số nguyên tố nên a = 2. Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c)2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c) (2)
Vì b≤c⇒bc<4c⇒b<4b≤c⇒bc<4c⇒b<4. Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3. Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý. Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5
Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy ý
3 tháng 3 2020
Vì a,b,c có vai trò như nhau. Giả sử a<b<c
Khi đó ab+bc+ca =< 3bc
=> abc<3bc => a<3 => a=2 (vì a là số nguyên tố)
Với a=2, ta có:
2bc < 2b+2c-bc =< 4c
=> b<4 => b=2 hoặc b=3
Nếu b=2 thì 4c<2+4c thỏa mãn với c là số nguyên bất kì
Nếu b=3 thì 6c<6+5c => c<6 => c=3 hoặc c=5
Vậy các cặp số (a,b,c) cần tìm là: (2;2;p);(2;2;3);(2;3;5) và các hoán vị của chúng với p là số nguyên tố
TL
1
TL
1
NN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 3
Lời giải:
Nếu $p,q,r$ đều không chia hết cho 3. Ta biết rằng 1 scp khi chia 3 chỉ có dư $0$ hoặc $1$.
$\Rightarrow p^2,q^2,r^2$ chia $3$ dư $1$
$\Rightarrow p^2+q^2+r^2$ chia $3$ dư $3$ (hay chia 3 dư 0)
$\Rightarrow p^2+q^2+r^2\vdots 3$
Mà $p^2+q^2+r^2>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái với yêu cầu đề bài)
Do vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3 trong 3 số $p,q,r$. Không mất tính tổng quát, giả sử $p\vdots 3\Rightarrow p=3$.
Vì $p,q,r$ là số nguyên tố liên tiếp nên có thể xảy ra các TH: $(q,r)=(2,5)$ hoặc $(q,r)=(5,7)$
Thử thì thấy $(q,r)=(5,7)$
Vậy $(p,q,r)=(3,5,7)$ và hoán vị.
AT
0
Lời giải:
Nếu cả 3 số nguyên tố trên đều lẻ. Khi đó: $p^q+q^p$ là tổng 2 số lẻ, nên kết quả là một số chẵn (vô lý vì $r$ cũng lẻ)
$\Rightarrow$ trong 3 số trên có ít nhất 1 số chẵn.
Vì $r=p^q+q^p>2$ với mọi $p,q\in\mathbb{P}$ nên số lẻ chỉ có thể là $p$ hoặc $q$.
Không mất tổng quát, giả sử $p=2$. Khi đó:
$2^q+q^2=r$
Nếu $q=3$ thì $r=2^3+3^2=17$ (thỏa mãn)
Nếu $q>3$ thì $(q,3)=1$
$\Rightarrow q^2\equiv 1\pmod 3$ (do 1 scp khi chia 3 dư 0 hoặc 1, mà $q\not\vdots 3$ nên $q^2$ chia 3 dư 1)
$2^q\equiv (-1)^q\equiv -1\equiv 2\pmod 3$ (do $q$ lẻ)
$\Rightarrow r=2^q+q^2\equiv 2+1\equiv 3\equiv 0\pmod 3$
$\Rightarrow r\vdots 3\Rightarrow r=3$
$2^q+q^2=3$ (vô lý do với số nguyên tố $q>3$ thì $2^q+q^2> 2^3+3^2>3$)
Vậy $(p,q,r)=(2,3,17), (3,2,17)$