Cho dãy số (un) với u n = n 4 n v à u n + 1 u n < 1 2 . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau:
A. 1/4.
B. 1/2.
C. 0.
D. 1.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án là B
Ta có: l i m u n = l i m n - 1 2 n + 2 n 4 + n 2 - 1
=
l
i
m
n
-
1
2
2
n
+
2
n
4
+
n
2
-
1
=
l
i
m
2
n
3
-
2
n
2
-
2
n
+
2
n
4
+
n
2
-
1
= l i m 2 n - 2 n 2 - 2 n 3 + 2 n 4 1 + 1 n 2 - 1 n 4 = 0
\(\lim\left(u_n-2\right)=0\) ;\(\forall n\Rightarrow\lim\left(u_n\right)=2\)
\(\Rightarrow\lim\left(u_n^2+2u_n-1\right)=2^2+2.2-1=7\)
* Xét tử số: Ta thấy 1, 2, 3, 4, ..., n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với
u 1 = 1 ; d= 1 .
Tổng n số hạng của cấp số cộng: S n = u 1 + u n n 2 = 1 + n n 2 .
* Xét mẫu số: Ta thấy 1 , 3 , 3 2 , 3 3 , ... , 3 n là một dãy số thuộc cấp số nhân có n + 1 số hạng với u 1 = 1 ; q = 3
Tổng (n+ 1) số hạng của cấp số nhân: S n + 1 = u 1 . 1 − q n + 1 1 − q = 1 − 3 n + 1 1 − 3 = 3 n + 1 − 1 2 .
⇒ u n = n 3 n + 1 − 1 = n 3.3 n − 1
Bằng quy nạp ta luôn có n < 2 n , ∀ n ∈ ℕ * và 3 n > 1 , ∀ n ∈ ℕ *
⇒ u n = n 3.3 n − 1 < n 3 n < 2 n 3 n = 2 3 n
Vì lim 2 3 n = 0 nên lim u n = 0.
Chọn đáp án A
Chọn C.
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học ta có n ≤ 2n, ∀n ∈ N
Nên ta có :![](http://cdn.hoc24.vn/bk/3u4sZm6JSFg0.png)
Suy ra :![](http://cdn.hoc24.vn/bk/Jo8Eafb11fpI.png)
mà
.