Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi K là điểm đối xứng với điểm H qua D. Chứng minh AHBK là hình chữ nhật
cho AH =9 cm ,BC=16cm.tính diện tích ADHHãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét tứ giác AHBK có
D là trung điểm của đường chéo AB(gt)
D là trung điểm của đường chéo KH(K đối xứng với H qua D)
Do đó: AHBK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AHBK có \(\widehat{AHB}=90^0\)(AH⊥BC)
nên AHBK là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Xét ΔABC cân tại A có AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(AH⊥BC)
nên H là trung điểm của BC(Định lí tam giác cân)
⇒\(BH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{16}{2}=8cm\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:
\(AB^2=AH^2+BH^2\)
\(\Leftrightarrow AB^2=8^2+9^2=145\)
\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{145}\)(cm)
Xét ΔABH vuông tại H có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(D là trung điểm của AB)
nên \(HD=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AD=\dfrac{AB}{2}\)(D là trung điểm của AB)
nên \(HD=AD=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{145}}{2}cm\)
Nửa chu vi của tam giác ADH là:
\(P_{ADH}=\dfrac{HD+AD+AH}{2}=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{145}}{2}+\dfrac{\sqrt{145}}{2}+8\right)}{2}=\dfrac{\sqrt{145}+8}{2}cm\)
Diện tích của tam giác ADH là:
\(S_{ADH}=\sqrt{P\cdot\left(P-AD\right)\cdot\left(P-AH\right)\cdot\left(P-DH\right)}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\sqrt{145}+8}{2}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{145}+8}{2}-\dfrac{\sqrt{145}}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{145}+8}{2}-\dfrac{\sqrt{145}}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{145}+8}{2}-8\right)}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\sqrt{145}+8}{2}\cdot16\cdot\dfrac{\sqrt{145}-8}{2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{145-64}{2}\cdot16}\)
\(=\sqrt{\dfrac{81}{2}\cdot16}=18\sqrt{2}cm^2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 3:
a: Xét tứ giác AHBF có
E là trung điểm của AB
E là trung điểm của HF
Do đó: AHBF là hình bình hành
mà \(\widehat{AHB}=90^0\)
nên AHBF là hình chữ nhật
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét tứ giác EDCB có ED//BC(gt)
nên EDCB là hình thang có hai đáy là ED và BC(Định nghĩa hình thang)
Hình thang EDCB có \(\widehat{B}=\widehat{DCB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên EDCB là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
b) Xét tứ giác AKCH có
D là trung điểm của đường chéo AC(gt)
D là trung điểm của đường chéo HK(H và K đối xứng nhau qua D)
Do đó: AKCH là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AKCH có \(\widehat{AHC}=90^0\)(AH⊥BC)
nên AKCH là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
c) Xét ΔABC cân tại A có AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)
nên AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)
⇒H là trung điểm của BC
hay HB=HC
mà HC=AK(Hai cạnh đối trong hình chữ nhật AHCK)
nên BH=AK
Xét ΔABC có
H là trung điểm của BC(cmt)
D là trung điểm của AC(gt)
Do đó: HD là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒HD//AB và \(HD=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Xét ΔABC có
D là trung điểm của AC(gt)
DE//BC(gt)
Do đó: E là trung điểm của AB(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
⇒\(AE=\dfrac{AB}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra HD//AE và HD=AE
Xét tứ giác AEHD có
HD//AE(cmt)
HD=AE(cmt)
Do đó: AEHD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AH và ED cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà AH cắt ED tại F
nên F là trung điểm chung của AH và ED
Xét tứ giác AKHB có
AK//HB(AK//HC, B∈HC)
AK=HB(cmt)
Do đó: AKHB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AH và BK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà F là trung điểm của AH(cmt)
nên F là trung điểm của BK(đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét tứ giác ABDC có
M là trung điểm của BC
M là trung điểm của AD
Do đó: ABDC là hình bình hành
mà \(\widehat{BAC}=90^0\)
nên ABDC là hình chữ nhật
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét tứ giác AHBK có
M là trung điểm của AB
M là trung điểm của HK
Do đó: AHBK là hình bình hành
mà \(\widehat{AHB}=90^0\)
nên AHBK là hình chữ nhật
b:
Xét tứ giác AKHC có
AK//HC
AK=HC
Do đó: AKHC là hình bình hành
c: Xét ΔABC có
N là trung điểm của AC
H là trung điểm của BC
Do đó: NH là đường trung bình
=>NH//AB và NH=AB/2
hay NH//AM và NH=AM
=>AMHN là hình bình hành
mà AM=AN
nên AMHN là hình thoi