Chứng minh \(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\)
Là số vô tỉ
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}=x\left(x\in Q\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=x^2\\ \Leftrightarrow11+4\sqrt{6}=x^2\\ \Leftrightarrow\sqrt{6}=\dfrac{x^2-11}{4}\)
Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{x^2-11}{4}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\) \(x^2\) là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=x\left(x\in Q\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2=x^2\\ \Rightarrow5-2\sqrt{6}=x^2\\ \Rightarrow\sqrt{6}=\dfrac{5-x^2}{2}\)
Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{5-x^2}{2}\Rightarrow\) \(x^2\)là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số hữu tỉ
nên \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\left(q\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{p^2}{q^2}=5-2\sqrt{6}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{p^2}{q^2}-5=-2\sqrt{6}\)(vô lý)
Vậy: \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ
Ta có : \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ
\(\sqrt{3}\)là số vô tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ ( đpcm )
b) tương tự :
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}vôti\\\sqrt{3}vôti\\\sqrt{5}vôti\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\)vô tỉ
a. Giả sử \(\sqrt{3}\) không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho √3 = a/b với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.
Ta có: (√3 )2 = (a/b )2 hay a2 = 3b2 (1)
Kết quả trên chứng tỏ a chia hết cho 3, nghĩa là ta có a = 3c với c là số nguyên.
Thay a = 3c vào (1) ta được: (3c)2 = 3b2 hay b2 = 3c2
Kết quả trên chứng tỏ b chia hết cho 3.
Hai số a và b đều chia hết cho 3, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.
Vậy √3 là số vô tỉ.
b. * Giả sử 5√2 là số hữu tỉ a, nghĩa là: 5√2 = a
Suy ra: √2 = a / 5 hay √2 là số hữu tỉ.
Điều này vô lí vì √2 là số vô tỉ.
Vậy 5√2 là số vô tỉ.
* Giả sử 3 + √2 là số hữu tỉ b, nghĩa là:
3 + √2 = b
Suy ra: √2 = b - 3 hay √2 là số hữu tỉ.
Điều này vô lí vì √2 là số vô tỉ.
Vậy 3 + √2 là số vô tỉ.
a) Bằng phản chứng giả sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ
---> Đặt \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)với ƯCLN(a,b)=1 (tức là a/b tối giản), a,b>0
\(\Rightarrow b\sqrt{2}=a\Rightarrow2b^2=a^2\Rightarrow a^2\)là số chẵn \(\Rightarrow a\)là số chẵn
Đặt \(a=2k\Rightarrow b\sqrt{2}=2k\Rightarrow2b^2=4k^2\Rightarrow b^2=2k^2,k\inℕ\)
\(\Rightarrow b^2\)là số chẵn\(\Rightarrow b\)là số chẵn
Vậy \(2\inƯC\left(a,b\right)\RightarrowƯCLN\left(a,b\right)\ne1\)---> Mâu thuẫn giả thiết--->đpcm
b) Bằng phản chứng giả sử \(3\sqrt{3}-1\)là số hữu tỉ
---> Đặt \(3\sqrt{3}-1=\frac{a}{b}\)với ƯCLN(a,b)=1 và a,b>0
\(\Rightarrow3b\sqrt{3}=a+b\Rightarrow27b^2=\left(a+b\right)^2\Rightarrow\left(a+b\right)^2⋮9\Rightarrow a+b⋮3\)
Đặt \(a+b=3k,k\inℕ\Rightarrow a=3k-b\Rightarrow\frac{3k-b}{b}=3\sqrt{3}-1\Rightarrow\frac{3k}{b}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow k^2=3b^2\Rightarrow k^2⋮3\Rightarrow k⋮3\)---> Đặt \(k=3l,l\inℕ\Rightarrow a=9l-b\Rightarrow\frac{9l-b}{b}=3\sqrt{3}-1\Rightarrow\frac{9l}{b}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow b^2=3l^2\Rightarrow b^2⋮3\Rightarrow b⋮3\)
\(\Rightarrow3\inƯC\left(a,b\right)\RightarrowƯCLN\left(a,b\right)\ne1\)---> Mâu thuẫn giả thiết---> đpcm
(Bài dài quá, giải mệt vler !!)
Mọi số n không là số chính phương thì \(\sqrt{n}\)là số vô tỉ nên
\(\sqrt{2}\)và \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ
Suy ra \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ
Đặt \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
Giả sử x là số hữu tỉ , nghĩa là \(x=\frac{p}{q}\left(p,q\in N,q\ne0\right)\)
Ta có : \(\frac{p}{q}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{p^2}{q^2}=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{p^2}{q^2}-5=2\sqrt{6}\) ( vô lí )
Vì \(\frac{p^2}{q^2}\) là số hữu tỉ và \(2\sqrt{6}\) là số vô tỉ
Vậy \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) không phải là số hữu tỉ
\(\Rightarrow x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) lá số vô tỉ
Chúc bạn học tốt !!!
Giả sử căn 3 không phải số vô tỉ suy ra:
tồn tại số m và n sao cho căn 3 = m/n (m,n là nguyên tố cùng nhau)
khi đó 3n^2 = m^2
=> m chia hết 3, đặt m=3p ( p là số nguyên)
thay m = 3p ta có
3n^2 = 9p^2
n^2 = 3p^2
=> n chia hết cho 3
=> m và n cùng chia hết cho 3
mâu thuẫn với giả thiết ban đầu , m/n tối giản , m,n là nguyên tố cùng nhau
=> căn 3 là số vô tỉ
giả sử \(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\)là số hữu tỉ
do đó phải tồn tại hai số nguyên a,b sao cho
\(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}=\frac{a}{b}\left(b\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{3}=\frac{a}{b}-\sqrt{2}\) lập phương hai vế ta có \(3=\frac{a^3}{b^3}-\frac{3a^2}{b^2}\sqrt{2}+\frac{6a}{b}-2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow3=\frac{a^3}{b^3}+\frac{6a}{b}-\sqrt{2}\left(\frac{3a}{b}+2\right)\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(\frac{3a}{b}+2\right)=\frac{a^3}{b^3}+\frac{6a}{b}-3\)vô lý do vế trái vô tỉ, vế phải hữu tỉ
vậy giả sử là sai hay số đã cho là vô tỉ