chứng minh rằng đa thức x^4 + 2x^3 - x^2 -2x chia hết cho 24 vs mọi x ??? giúp mik vs . thanks
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(=x^3\left(x+2\right)-x\left(x+2\right)\)
\(=\left(x+2\right)\cdot x\cdot\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)
Vì đây là tích của bốn số nguyên liên tiếp
nên \(\left(x+2\right)\cdot x\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x-1\right)⋮24\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(f\left(x\right)=x^3-2x^2-6x+a\)
Gọi thương của \(f\left(x\right):\left(x-2\right)\)là \(P\left(x\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=P\left(x\right).\left(x-2\right)\)
Thay \(x=2\)ta có:
\(8-8-12+a=0\)
\(\Rightarrow a=12\)
Vậy \(a=2\)là giá trị cần tìm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Nhẩm nghiệm, thấy x=-1 thỉ P=0, phân tích đa thức dần thành nhân tử
P(x)=\(\left(x+1\right)\left(2x^3-9x^2+7x+6\right)\)
=\(2x^{^{ }4}+2x^3-9x^3-9x^2+7x^2+7x+6x+6\)
=\(\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(2x^2-5x-3\right)\)
=\(\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-1\right)\)
Đây là 1 tích trong đó có 3 số nguyên lien tiep.
Trong 3 so nguyen lien tiep co it nhat 1 so chan va 1 so chia het cho 3
=> h cua chung chia het cho 2x3=6.
Vay P chia het cho 6.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 3:
a: \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)
\(=2n^2-3n-2n^2-2n\)
=-5n chia hết cho 5
b: \(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)\)
\(=n^2+4n-n-4-\left(n^2+n-4n-4\right)\)
\(=n^2+3n-4-\left(n^2-3n-4\right)\)
\(=6n⋮6\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(=\left(x^3-2x^2+x+2x^2-4x+2-2x+7\right):\left(x^2-2x+1\right)\\ =\left[\left(x^2-2x+1\right)\left(x+2\right)-2x+7\right]:\left(x^2-2x+1\right)\\ =x+2\left(dư:-2x+7\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
p(x)= x^4 +2x^3 - 13x^2 - 14x+24
<=> p(x)= x^4 - x^3 + 3x^3 - 3x^3 - 10x^2 + 10x - 24x + 24
<=> p(x)= x^3(x - 1) + 3x^2(x - 1) - 10x(x - 1) - 24(x - 1)
<=> p(x)= (x^3 + 3x^2 - 10x - 24)(x - 1)
<=> p(x)= (x^3 - 3x^2 + 6x^2 - 18x + 8x - 24)(x - 1)
<=> p(x)= [x^2(x - 3) + 6x(x - 3) + 8(x - 3)](x - 1)
<=> p(x)= (x^2+ 6x + 8)(x - 3)(x - 1)
<=> p(x)= (x - 3)(x - 1)(x + 2)(x + 4)
một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó đồng thời chia hết cho 2 và 3
* Giả sử (x - 3) và (x - 1) là số lẻ thì (x + 2) và (x + 4) là những số chẵn => hiển nhiên p(x) chia hết cho 2
xét tương tự với trường hợp ngược lại
* Nếu (x - 3) không chia hết cho 3 thì (x - 1) chia hết cho 3 hoặc (x + 4) chia hết cho 3
Nếu (x - 1) không chia hết cho 3 thì (x - 3) chia hết cho 3 hoặc (x + 4) chia hết cho 3
Hai trường hợp còn lại tương tự
ĐK : x ∈ Z
Ta có : x4 + 2x3 - x2 - 2x
= x( x3 + 2x2 - x - 2 )
= x[ ( x3 + 2x2 ) - ( x + 2 ) ]
= x[ x2( x + 2 ) - ( x + 2 ) ]
= x( x + 2 )( x2 - 1 )
= x( x + 2 )( x - 1 )( x + 1 )
Ta có : x ; x - 1 là hai số nguyên liên tiếp => Chia hết cho 2 (1)
x - 1 ; x ; x + 1 là ba số nguyên liên tiếp => Chia hết cho 3 (2)
x - 1 ; x ; x + 1 ; x + 2 là bốn số nguyên liên tiếp => Chia hết cho 4 (3)
Từ (1), (2) và (3) => x( x + 2 )( x - 1 )( x + 1 ) chia hết cho 2.3.4 = 24
hay x4 + 2x3 - x2 - 2x chia hết cho 24 ( đpcm )
\(x^4+2x^3-x^2-2x=x\left(x^3+2x^2-x-2\right)\)
\(=x\left[\left(x^3+2x^2\right)-\left(x+2\right)\right]=x\left[x^2\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\right]\)
\(=x\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)=x\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+1\right)\)
\(=\left(x-1\right).x.\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)
Vì \(\left(x-1\right).x.\left(x+1\right)\)là tích của 3 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow\left(x-1\right).x.\left(x+1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right).x.\left(x+1\right).\left(x+2\right)⋮3\)
\(\Rightarrow x^4+2x^3-x^2-2x⋮3\)(1)
Vì \(x-1\), \(x\), \(x+1\), \(x+2\)là 4 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow\)Trong 4 số có ít nhất 2 số chẵn
hay có ít nhất 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4
\(\Rightarrow\left(x-1\right).x.\left(x+1\right).\left(x+2\right)⋮8\)
\(\Rightarrow x^4+2x^3-x^2-2x⋮8\)(2)
mà \(\left(3;8\right)=1\)(3)
Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow x^4+2x^3-x^2-2x⋮3.8\)
\(\Rightarrow x^4+2x^3-x^2-2x⋮24\)( đpcm )