Cho \(n\inℕ\).Chứng minh:\(6^{2n}+19^n-2^{n+1}⋮17\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
Chứng minh: Số có dạng \(n^6-n^4+2n^3+2n^2\) với \(n\inℕ\) và \(n>1\) không phải là số chính phương.
1
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
3 tháng 8 2023
\(=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)=\)
\(=n^2\left[n^2\left(n^2-1\right)+2\left(n+1\right)\right]=\)
\(=n^2\left[n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]=\)
\(=n^2\left[\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)\right]=\)
\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]\right\}=\)
\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\right\}=\)
\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\right\}=\)
\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-n+1\right)-n^2\left(n+1\right)^2\left(n-1\right)=\)
\(=n^2\left(n+1\right)^2\left[\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)\right]=\)
\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\) Giả sử đây là số chính phương
\(\Rightarrow n^2-2n+2\) Phải là số chính phương
Ta có
\(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1\Rightarrow n^2-2n+2>\left(n-1\right)^2\) (1)
Ta có
\(n^2-2n+2=n^2-2\left(n-1\right)\) Với n>1
\(\Rightarrow n^2-2n+2< n^2\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)^2< n^2-2n+2< n^2\)
Mà \(\left(n-1\right)^2\) và \(n^2\) là hai số chính phương liên tiếp nên \(n^2-2n+2\) không phải là số chính phương
=> Biểu thức đề bài đã cho không phải là số chính phương
9 tháng 7 2017
\(6^{2n}+19^n-2^{n+1}=36^n+19^n-4^n=36^n+19^n-2^n-2^n\)
\(=\left(36^n-2^n\right)+\left(19^n-2^n\right)=34^n+17^n⋮17\)
19 tháng 1 2019
bạn ơi từ giòng 1 -> dòng 2 ko đúng vì 2^n+1 không bằng 4^n
HT
0
TA
0
TC
0
DN
0
* n = 0 thì \(6^{2n}+19^n-2^{n+1}=1+1-2=0⋮17\)
* n = 1 thì \(6^{2n}+19^n-2^{n+1}=36+19-4=51⋮17\)
Giả sử khẳng định đúng với n = k tức là \(6^{2k}+19^k-2^{k+1}⋮17\)
Ta chứng minh khẳng định cũng đúng với n = k + 1
Thật vậy: \(6^{2\left(k+1\right)}+19^{k+1}-2^{k+2}=6^{2k}.36+19^k.19-2^{k+1}.2=2\left(6^{2k}+19^k-2^{k+1}\right)+34.6^{2k}+17.19^k⋮37\)(Do \(6^{2k}+19^k-2^{k+1}⋮17\)theo giả thiết quy nạp)
Vậy \(6^{2n}+19^n-2^{n+1}⋮17\forall n\inℕ\left(đpcm\right)\)