Question

[Bùi Thanh Tâm]

Cho Tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) đường cao AH. M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,AC,BC. I là giao điểm AH và MN.

a, Chứng minh MN là đường trung trực AH

b, Kéo dài PN một đoạn NQ=NP. Xác định dạng tứ giác ABPQ.

c, Xác định dạng tứ giác MHPN

d, K là trung điểm của MN. Chứng minh B,K,Q thẳng hàng

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: MN//BC(cmt)

AH⊥BC(gt)

Do đó: MN⊥AH(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Ta có: MN//BC(cmt)

nên MI//BH

Xét ΔABH có

M là trung điểm của AB(gt)

MI//BH(cmt)

Do đó: I là trung điểm của AH(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: AH⊥MN(cmt)

mà AH\(\cap\)MN={I}

nên AH⊥MN tại I

mà I là trung điểm của AH(cmt)

nên MN là đường trung trực của AH(đpcm)

b) Xét ΔACB có

P là trung điểm của BC(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: PN là đường trung bình của ΔACB(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒PN//AB và \(PN=\frac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Ta có: NQ=NP(gt)

mà P,N,Q thẳng hàng

nên N là trung điểm của PQ

⇒\(PN=\frac{PQ}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AB=PQ

Xét tứ giác ABPQ có AB//PQ(AB//PN, Q∈PN) và AB=PQ(cmt)

nên ABPQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

c) Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB(gt)

P là trung điểm của BC(gt)

Do đó: MP là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MP//AC và \(MP=\frac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(3)

Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC)

mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(N là trung điểm của AC)

nên \(HN=\frac{AC}{2}\)(Định lí 1 áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(4)

Từ (3) và (4) suy ra MP=HN

Xét tứ giác PNMH có HP//MN(MN//BC, H∈BC, P∈BC)

nên PNMH là hình thang có hai đáy là HP và MN(Định nghĩa hình thang)

Hình thang PNMH(HP//MN) có PM=HN(cmt)

nên PNMH là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

d) Xét ΔBPQ có

N là trung điểm của PQ(cmt)

NK//BP(NM//BC, P∈BC, K∈MN)

Do đó: K là trung điểm của BQ(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

hay B,K,Q thẳng hàng(đpcm)