Chứng minh: \(abc\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)\left(c^3-a^3\right)⋮7\) với mọi số nguyên a,b,c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 5 2018
Do a;b;c nguyên nên \(a^3;b^3;c^3\equiv0;1;6\left(mod7\right)\)
Nếu lập phương của 1 số trong 3 số trên đồng dư với 0 theo Mod 7 thì số đó \(⋮7\)\(\Rightarrow abc⋮7\Rightarrowđpcm\)
Nếu không tồn tại lập phương của số nào \(\equiv0\left(mod7\right)\) thì \(a^3;b^3;c^3\) chia 7 dư 1 hoặc 6
Do đó trong 3 số \(a^3;b^3;c^3\) có ít nhất 2 số chia 7 cùng số dư (nguyên lý Dirichle) nên hiệu của nó \(⋮7\)
\(\Rightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)\left(c^3-a^3\right)⋮7\Rightarrowđpcm\)
11 tháng 4 2023
3: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>=2\sqrt{ab}\\b+c>=2\sqrt{bc}\\a+c>=2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)>=8abc\)
1: =>(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)>=0
=>(a+b)(a^2-2ab+b^2)>=0
=>(a+b)(a-b)^2>=0(luôn đúng)
ES
1
2 tháng 1 2023
Dễ dàng chứng minh rằng các số có dạng \(n^3\) khi chia cho 7 sẽ chỉ có các số dư là \(0,1,6\). (Bằng cách đặt \(n=7k+i\left(i=\overline{0,6}\right)\) rồi khai triển biểu thức \(\left(7k+i\right)^3=\left(7k\right)^3+3\left(7k\right)^2i+3.7k.i^2+i^3\) và xét số dư của \(i^3\) cho 7.
Nếu trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 7 thì đương nhiên ta có đpcm.
Nếu trong 3 số a, b, c không có số nào chia hết cho 7 (tức là không có số nào trong 3 số \(a^3,b^3,c^3\) chia hết cho 7), thì theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại 2 số trong 3 số \(a^3,b^3,c^3\) có cùng số dư khi chia cho 7 (do lúc này chỉ còn 2 số dư là 1,6). Giả sử 2 số đó là \(a^3,b^3\). Khi đó \(a^3-b^3⋮7\) \(\Rightarrowđpcm\)
Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có đpcm.
HQ
15 tháng 2 2021
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
HQ
15 tháng 2 2021
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 3 2022
\(\dfrac{a^3}{\left(b+2\right)\left(c+3\right)}+\dfrac{b+2}{36}+\dfrac{c+3}{48}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(b+2\right)\left(c+3\right)}{1728\left(b+2\right)\left(c+3\right)}}=\dfrac{a}{4}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{\left(c+2\right)\left(a+3\right)}+\dfrac{c+2}{36}+\dfrac{a+3}{48}\ge\dfrac{b}{4}\)
\(\dfrac{c^3}{\left(a+2\right)\left(b+3\right)}+\dfrac{a+2}{36}+\dfrac{b+3}{48}\ge\dfrac{c}{4}\)
Cộng vế:
\(P+\dfrac{7\left(a+b+c\right)}{144}+\dfrac{17}{48}\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{29}{144}\left(a+b+c\right)-\dfrac{17}{48}\ge\dfrac{29}{144}.3\sqrt[3]{abc}-\dfrac{17}{48}=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
TN
26 tháng 3 2017
Bài 1:Với \(ab=1;a+b\ne0\) ta có:
\(P=\frac{a^3+b^3}{\left(a+b\right)^3\left(ab\right)^3}+\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)^4\left(ab\right)^2}+\frac{6\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^5\left(ab\right)}\)
\(=\frac{a^3+b^3}{\left(a+b\right)^3}+\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)^4}+\frac{6\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^5}\)
\(=\frac{a^2+b^2-1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)^4}+\frac{6}{\left(a+b\right)^4}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2-1\right)\left(a+b\right)^2+3\left(a^2+b^2\right)+6}{\left(a+b\right)^4}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2-1\right)\left(a^2+b^2+2\right)+3\left(a^2+b^2\right)+6}{\left(a+b\right)^4}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2+4\left(a^2+b^2\right)+4}{\left(a+b\right)^4}=\frac{\left(a^2+b^2+2\right)^2}{\left(a+b\right)^4}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2+2ab\right)^2}{\left(a+b\right)^4}=\frac{\left[\left(a+b\right)^2\right]^2}{\left(a+b\right)^4}=1\)
Bài 2: \(2x^2+x+3=3x\sqrt{x+3}\)
Đk:\(x\ge-3\)
\(pt\Leftrightarrow2x^2-3x\sqrt{x+3}+\sqrt{\left(x+3\right)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-2x\sqrt{x+3}-x\sqrt{x+3}+\sqrt{\left(x+3\right)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow2x\left(x-\sqrt{x+3}\right)-\sqrt{x+3}\left(x-\sqrt{x+3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x+3}\right)\left(2x-\sqrt{x+3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x+3}=x\\\sqrt{x+3}=2x\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+3=x^2\left(x\ge0\right)\\x+3=4x^2\left(x\ge0\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-x-3=0\left(x\ge0\right)\\4x^2-x-3=0\left(x\ge0\right)\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\\x=1\end{cases}\left(x\ge0\right)}\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2\sqrt{ab}\le a+b\le1\Rightarrow b\le\frac{1}{4a}\)
Ta có: \(a^2-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\le a^2-\frac{3}{4a}-4a^2=-\left(3a^2+\frac{3}{4a}\right)\)
\(=-\left(3a^2+\frac{3}{8a}+\frac{3}{8a}\right)\le-3\sqrt[3]{3a^2\cdot\frac{3}{8a}\cdot\frac{3}{8a}}=-\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bổ đề: Số lập phương bất kì khi chia cho 7 thì dư 0, 1, 6 (*)
+) Xét abc chia hết cho 7 thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh
+) Xét abc không chia hết cho 7 thì trong ba số a, b, c không có số nào chia hết cho 7 suy ra \(a^3,b^3,c^3\)không chia hết cho 7
Theo bổ đề (*) thì \(a^3,b^3,c^3\)chia 7 dư 1 hoặc 6
Có 3 số mà chỉ có 2 số dư nên theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất hai số cùng số dư do đó hiệu của chúng chia hết cho 7
Vậy \(abc\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)\left(c^3-a^3\right)⋮7\left(đpcm\right)\)
Một số lập phương khi chia cho 7 có số dư là 0, 1, hoặc 6. Nên nếu abc không chia hết cho 7 thì ít nhất 2 trong 3 số a^3, b^3, và c^3 phải cùng số dư khi chia cho 7.
Suy ra dpcm