Cho a/b=b/c.Chứng minh rằng:a(b^2+c^2)=c(a^2+b^2)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 5 2021
a.
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2a^2bc+c^2a^2\right)+\left(a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc^2+a^2c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-ca\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ca\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
b.
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (đúng theo câu a đã chứng minh)
W
0
LT
1
19 tháng 3 2019
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Leftrightarrow a=bk;c=dk\)
Thay a = bk, c = dk vào \(\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\) và \(\frac{ab}{cd}\), ta có:
\(\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{\left(bk\right)^2-b^2}{\left(dk\right)^2-d^2}=\frac{b^2k^2-b^2}{d^2k^2-d^2}=\frac{b^2\left(k^2-1\right)}{d^2\left(k^2-1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\)
\(\frac{ab}{cd}=\frac{bk.b}{dk.d}=\frac{b^2.k}{d^2.k}=\frac{b^2}{d^2}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{ab}{cd}\left(đpcm\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 5 2021
a.
Ta có: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}}=a\)
Tương tự: \(\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}\ge b\) ; \(\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge c\)
Cộng vế:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 5 2021
b.
Ta có:
\(a^2+bc\ge2\sqrt{a^2bc}=2\sqrt{ab.ac}\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+bc}\le\dfrac{1}{2\sqrt{ab.ac}}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b^2+ac}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}\right)\) ; \(\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=\dfrac{a+b+c}{2abc}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kb\\b=kc\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=k^2c\\b=kc\end{cases}}\)
Xét VT ta có :
a( b2 + c2 ) = k2c[ ( kc )2 + c2 ] = k2c( k2c2 + c2 ) = k4c3 + k2c3 (1)
Xét VP ta có :
c( a2 + b2 ) = c[ ( k2c )2 + ( kc )2 ] = c( k4c2 + k2c2 ) = k4c3 + k2c3 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm