K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

23 tháng 9 2020

\(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)

=> \(a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\)

=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

=> \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)

=> \(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a=c\\b=c\end{matrix}\right.\)

=> a = b = c

Vậy .....

23 tháng 9 2020

Này Miyuki Misaki, cho mk hỏi dòng thứ 2 và thứ 3 bn làm như thế nào vậy

24 tháng 7 2023

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-bc=x\\b^2-ca=y\\c^2-ab=z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge0\)

\(\)Đẳng thức cần c/m trở thành: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 3 số x,y,z, ta có:

\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3.y^3.z^3}=3xyz\)

=> Đẳng thức (1) luôn đúng với mọi x

Dấu = xảy ra khi: x=y=z hay \(a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab\)

và \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\)\(\Rightarrow a=b=c\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 6 2020

Nguyễn Xuân Đình Lực:

mình ghi rõ trên rùi, sắp xếp theo thứ tự luôn cho dễ nhìn kìa bạn:

Cặp 1: $a^3b$ và $abc^2$ tạo ra $a^2bc$

Cặp 2: $b^3c$ và $bca^2$ tạo ra $b^2ca$

Cặp 3: $c^3a$ và $cab^2$ tạo ra $c^2ab$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 6 2020

Lời giải:

Ba số thực $a,b,c$ cần có thêm điều kiện không âm mới đúng.

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$ab^3+bc^3+ca^3+2abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3+abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a(*)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^3b+b^3c+c^3a)(abc^2+bca^2+cab^2)\geq (a^2bc+b^2ca+c^2ab)^2$

$\Rightarrow a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$

BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

27 tháng 6 2020

a,b,c>0 

\(VP-VT=a^3b+b^3c+c^3a-abc\left(a+b+c\right)=abc\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{a}\ge0\)

26 tháng 2 2017

@Ngọc Minh Dương

Cách tách ra là cách của người học toán mức TB

Đề bắt C/m nhé

VT=0 hiển nhiên

VP=\(3\left[\left(a^2-ab\right)+\left(b^2-bc\right)+\left(c^2-ca\right)\right]=3\left[a\left(a-b\right)+b\left(b-c\right)+c\left(c-a\right)\right]=3.\left[0+0+0\right]=3.0=0\)VT=VP=0

21 tháng 7 2017

Lưu Hiền cái cách của bạn --> đúng cái đề này không cần hỏi >>> cái người hỏi cần cách làm bằng bộ não không phải làm = chân tay

24 tháng 10 2016

Có :

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

\(=a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ac\)

\(=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ab\)

\(3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(=3a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc-3ac\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ab=3a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc-3ac\)

Trừ cả 2 vế đi \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc;\)có :

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-bc-ca-ac=0\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ac\right)=0.2\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)+\left(a^2+c^2-2ab\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a-b=b-c=c-a=0\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

Vậy ...

18 tháng 7 2016

ffjgukgkkgk