Cho 4x + y = 1. Chứng minh: 4x^2 + y^2 ≥ 1/5
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(4x+y=1\Rightarrow y=1-4x\)
\(\Rightarrow4x^2+y^2=4x^2+\left(1-4x\right)^2=20x^2-8x+1=20\left(x-\dfrac{1}{5}\right)^2+\dfrac{1}{5}\ge\dfrac{1}{5}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{1}{5}\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài này có 2 cách làm mình làm cách áp dụng BĐT Bunhiacopxki
Ta có 4x + y = 1 =) ( 4x + y)2 =1
=) (4x + y)2 = [ 2(2x) + y ]2 <= ( 22 +1 ) [ (2x)2 + y2 )
=) ( 4x + y )2 <= 5( 4x2 + y2 )
=) 1<= 5( 4x2 + y2 )
=) 1/5 <= 4x2 + y2
Hay 4x2 + y2 >= 1/5
K CHO MÌNH NHA
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(4x^2+y^2=4x^2+\left(1-4x\right)^2=4x^2+1-8x+16x^2=20x^2-8x+1=20\left(x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{20}\right)\)
\(=20\left[x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}+\frac{1}{100}\right]=20\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{1}{5}\ge\frac{1}{5}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\)
BĐT$\Leftrightarrow 20x^2+5y^2\geq (4x+y)^2=16x^2+8xy+y^2\Leftrightarrow 2(x-y)^2\geq 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{5}$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Có 4x2 + y2 = (2x)2 + y2
=> (4x2 + y2)(22 + 12) =( (2x)2 + y2) (22 + 12)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakốpxki
=>( (2x)2 + y2) (22 + 12) >= (4x + y)2 = 1
=> (4x2 + y2)*5 >= 1
=> 4x2 + y2 >= 1/5
>= là lớn hơn hoặc bằng
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : 4x + y = 1 => y = 1 - 4x
=> 4x^2 + y^2 = 4x^2 + ( 1 - 4x )^2 = 20x^2 - 8x + 1 = 4 ( 5x^2 - 2x ) + 1 = 4/5 ( 25x^2 - 10x + 1 ) + 1/5 = 4/5 ( 5x-1 )^2 +1/5
Ta có : ( 5x-1)^2 >= 0
=> 4/5 ( 5x-1)^2 +1/5 >= 0 + 1/5 = 1/5
Vậy 4x^2 + y^2 >= 1/5. Dấu "=" xảy ra <=> x= 1/5
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left[\left(2x\right)^2+y^2\right].\left(2^2+1\right)\ge\left(4x+y\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow4x^2+y^2\ge\frac{1}{5}\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(\frac{2x}{2}=y\Leftrightarrow x=y=0,2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=\left(x-2+\frac{1}{x}\right)+2y-3=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+2y-3\ge-3\)
\(\left(1\right)\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2\ge0\) mọi x>0
\(\left(2\right)2y\ge0\) với mọi y>0
\(\left(3\right)-3\ge-3\) với x,y
(1)+(2)+(3)=> dpcm
Hiểu thì làm tiếp
học tốt