![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(4x^2+y^2=4x^2+\left(1-4x\right)^2=4x^2+1-8x+16x^2=20x^2-8x+1=20\left(x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{20}\right)\)
\(=20\left[x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}+\frac{1}{100}\right]=20\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{1}{5}\ge\frac{1}{5}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\)
BĐT$\Leftrightarrow 20x^2+5y^2\geq (4x+y)^2=16x^2+8xy+y^2\Leftrightarrow 2(x-y)^2\geq 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{5}$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Bunhia-copxki:
Ta có: (4x+y)2=(2x.2+y.1)2\(\le\)(4x2+y2)(22+12)
<=> 1\(\le\)(4x2+y2).5
=> 4x2+y2 \(\ge\frac{1}{5}\)(đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 1:
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=1^2=1\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(4+1\right)\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2=1^2=1\)
\(\Rightarrow4x^2+y^2\ge\dfrac{1}{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{5}\)
bài 1 mình thấy sao sao ý !!
đề bài là với mọi a,b,c tùy ý và chứng minh chứ bạn làm là khai thác ý cần chứng minh để chỉ ra điều kiện mà
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(4x+y=1\Rightarrow y=1-4x\)
\(\Rightarrow4x^2+y^2=4x^2+\left(1-4x\right)^2=20x^2-8x+1=20\left(x-\dfrac{1}{5}\right)^2+\dfrac{1}{5}\ge\dfrac{1}{5}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{1}{5}\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(A=\frac{3}{4}x+\frac{1}{x}+\frac{3}{4}y+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}(x+y)+(\frac{x}{4}+\frac{1}{x})+(\frac{y}{4}+\frac{1}{y})\)
\(\geq \frac{1}{2}.4+2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}+2\sqrt{\frac{y}{4}.\frac{1}{y}}=4\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=2$
Ta có : 4x + y = 1 => y = 1 - 4x
=> 4x^2 + y^2 = 4x^2 + ( 1 - 4x )^2 = 20x^2 - 8x + 1 = 4 ( 5x^2 - 2x ) + 1 = 4/5 ( 25x^2 - 10x + 1 ) + 1/5 = 4/5 ( 5x-1 )^2 +1/5
Ta có : ( 5x-1)^2 >= 0
=> 4/5 ( 5x-1)^2 +1/5 >= 0 + 1/5 = 1/5
Vậy 4x^2 + y^2 >= 1/5. Dấu "=" xảy ra <=> x= 1/5
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left[\left(2x\right)^2+y^2\right].\left(2^2+1\right)\ge\left(4x+y\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow4x^2+y^2\ge\frac{1}{5}\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(\frac{2x}{2}=y\Leftrightarrow x=y=0,2\)