cho a,b,c là các số thực abc=1
cmr \(\frac{1}{a^3+b^3+c^3}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
16 tháng 1 2019
Mình có cách này,không chắc lắm:
\(VT=\frac{a}{a\left(a^2+bc+1\right)}+\frac{b}{b\left(b^2+ac+1\right)}+\frac{c}{c\left(c^2+ab+1\right)}\) (làm tắt,bạn tự hiểu nha)
\(=\frac{1}{a^2+bc+1}+\frac{1}{b^2+ac+1}+\frac{1}{c^2+ab+1}\)
\(\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left[\left(1+1+1\right)-\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\right]\)
\(=1-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô si với biểu thức trong ngoặc:
\(=1-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)
\(\le1-\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{a}-1\right)\left(\sqrt[3]{b}-1\right)\left(\sqrt[3]{c-1}\right)}\le1^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
17 tháng 1 2019
Ta c/m bđt sau:
\(a^3+1\ge a^2+a\)
\(\Leftrightarrow a^3+1-a^2-a\ge0\Leftrightarrow a\left(a^2-1\right)-\left(a^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^3+a+1}\le\frac{a}{a^2+2a}=\frac{1}{a+2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\le\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)
Đặt \((a,b,c)\rightarrow(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}+\frac{x}{z+2x}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2y}+1-\frac{y}{y+2z}+1-\frac{z}{z+2x}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2yz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\right)\)\(\le\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 5 2020
Với mọi x;y dương ta có:
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
Áp dụng:
\(VT=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)
\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)
\(VT\le\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}\)
\(VT\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
1 tháng 11 2018
Đặt:
\(P=\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\)
Ta c/m:
\(a^3+1\ge a^2+a\Leftrightarrow a^3-a^2-\left(a-1\right)\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)\ge0\Rightarrow DPCM\)
\(\Rightarrow P\le\frac{a}{a^2+2a}+\frac{b}{b^2+2b}+\frac{c}{c^2+2c}=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)
Áp dụng bđt Sac- xơ ngược ta được:
\(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{4}{2}+\frac{1}{a}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{4}{2}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{1}{c}+\frac{4}{2}\right)\)
\(=\frac{2}{3}+\frac{ab+bc+ca}{9}\)
Ta cần c/m: \(\frac{2}{3}+\frac{ab+bc+ca}{9}\le1\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{9}\le\frac{1}{3}\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)
1 tháng 11 2018
Tiếp nhé:
Áp dụng bđt AM-GM ta được:
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}=3\) (do abc=1)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
=>DPCM
Bài này anh nhờ 1 người bạn trên fb giúp
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 7 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
$(a^3+1)(a+1)\geq (a^2+1)^2\Rightarrow a^3+1\geq \frac{(a^2+1)^2}{a+1}; a+1\leq \sqrt{2(a^2+1)}$
$\Rightarrow \frac{a^3+1}{b\sqrt{a^2+1}}\geq \frac{\sqrt{(a^2+1)^3}}{b(a+1)}\geq \frac{a^2+1}{\sqrt{2}b}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:
$\text{VT}\geq \frac{a^2+1}{\sqrt{2}b}+\frac{b^2+1}{\sqrt{2}c}+\frac{c^2+1}{\sqrt{2}a}$
Bài toán sẽ được chứng minh khi ta chỉ ra được: $\frac{a^2+1}{\sqrt{2}b}+\frac{b^2+1}{\sqrt{2}c}+\frac{c^2+1}{\sqrt{2}a}\geq \sqrt{2}(a+b+c)$
$\Leftrightarrow \frac{a^2+1}{b}+\frac{b^2+1}{c}+\frac{c^2+1}{a}\geq 2(a+b+c)$
$\Leftrightarrow ab^3+bc^3+ca^3+ab+bc+ac\geq 2abc(a+b+c)(*)$
Thật vậy, theo BĐT AM-GM:
$ab^3+bc+a^2b^2c^2\geq 3ab^2c$. Tương tự với $bc^3+ca+a^2b^2c^2\geq 3abc^2; ca^3+ab+a^2b^2c^2\geq 3a^2bc$
Cộng theo vế và thu gọn:
$ab^3+bc^3+ca^3+ab+bc+ac\geq 3abc(a+b+c-abc)(1)$
Mà: $(a+b+c)^3\geq 27abc\geq 27(abc)^3$ (do $abc\leq 1$) nên $a+b+c\geq 3abc(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow ab^3+bc^3+ca^3+ab+bc+ac\geq 2abc(a+b+c)$. BĐT $(*)$ được chứng minh.
Bài toán hoàn tất.
TN
6 tháng 7 2019
a) Ta có BĐT:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự cho 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=VP\)
Khi \(a=b=c\)
T
7 tháng 8 2019
BĐT <=> \(\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\le2\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+2}+1-\frac{b^2}{b^2+2}+1-\frac{c^2}{c^2+2}\le2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge1\)
Theo BĐT Svacxo:
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+6}=1\)
Vậy ta có đpcm.
P/s: Đúng ko ta?
T
8 tháng 2 2020
Bạn từ chứng minh BĐT đầu bài.
a) Áp dụng: \(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+abc}\)
\(=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
b) Với abc = 1. Ta viết BĐT lại thành:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)
Sử dụng cách chứng minh ở câu a.
c) Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\) thì xyz = 1; x, y, z > 0. Đưa về chứng minh:
\(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le1\)
Cách chứng minh tương tự câu b.
KT
13 tháng 12 2018
C/m: BDT: \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\) (1)
That vay ta co:
\(a^3+b^3+abc-ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (luon dung)
Tuong tu ta co: \(b^3+c^3+abc\ge bc\left(a+b+c\right)\) (2)
\(c^3+a^3+abc\ge ca\left(a+b+c\right)\) (3)
Tu (1), (2), (3) suy ra:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\) (dpcm)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :
\(\left(a^3+b^3+1\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a^2}{\left(a+b+c\right)^2};\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+b^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Cộng 3 BĐT trên lại theo vế, ta được :
\(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Ta thấy \(\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc;\frac{1}{b}=\frac{abc}{b}=ac;\frac{1}{c}=\frac{abc}{c}=ab\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{2\left(ab+bc+ac\right)+a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Cách khác anh Thanh Tùng DZ
Ta có BĐT sau:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) ( khó quá chứng minh ko nổi )
\(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=1\)
Dấu "=' xảy ra tại a=b=c=1